Гипотеза Зейферта — Опровергнутая гипотеза о векторных полях на трёхмерной сфере.

Формулировка Верно ли, что у любого векторного поля без особых точек на трёхмерной сфере найдётся периодическая траектория?

История

В своей работе 1950 года Герберт Зейферт доказалH. Seifert, Closed integral curves in 3-space and isotopic two-dimensional deformations, Proc. Amer. Math. Soc. 1, (1950). 287--302., что периодическими траекториями обладают -гладкие векторные поля, близкие к единичному касательному полю к расслоению Хопфа; это утверждение получило название теоремы Зейферта. Там же он задал вопрос о том, у любого ли неособого поля на трёхмерной сфере (пусть даже далёкого от поля Хопфа) найдётся такая траектория. Долгое время считалосьK. Kuperberg, Aperiodic dynamical systems . Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999), no. 9, 1035--1040., что ответ на этот вопрос будет положительным (и эта формулировка получила имя «гипотезы Зейферта»), пока в 1974 году Швейцером не был построен -гладкий контрпримерP. A. Schweitzer, Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations, Ann. of Math. (2) 100 (1974), 386--400. (основанный на тех же идеях, что и пример Данжуа).

В 1988 году Дженни ХаррисонJ. Harrison, counterexamples to the Seifert conjecture, Topology 27 (1988), no. 3, 249--278. улучшила пример Швейцера, добившись гладкости , однако её техника не позволяла достичь гладкости . Существование более гладких контрпримеров оставалось неизвестным до 1993 года, когда Кристина Куперберг, используя технику ловушек, не построила -гладкий контрпример (пример Куперберг)K. Kuperberg A smooth counterexample to the Seifert conjecture, Ann. of Math. (2) 140 (1994), no. 3, 723--732..

Примечания

Внешние ссылки

Литература V. Ginzburg and B. Gürel, A -smooth counterexample to the Hamiltonian Seifert conjecture in , Ann. of Math. (2) 158 (2003), no. 3, 953--976 G. Kuperberg A volume-preserving counterexample to the Seifert conjecture, Comment. Math. Helv. 71 (1996), no. 1, 70--97. G. Kuperberg and K. Kuperberg, Generalized counterexamples to the Seifert conjecture, Ann. of Math. (2) 143 (1996), no. 3, 547--576.

Категория:Динамические системы Категория:Опровергнутые математические гипотезы