Универса́льная тригонометри́ческая подстано́вка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

Подстановка Рассмотрим задачу нахождения первообразной рациональной функции от синуса и косинуса.

Заменим и дифференциал  рациональными функциями от переменной , и их произведением дифференциал , следующим образом:

Введение обозначений Примем, что переменная равна тангенсу половинного угла:

В интервале это даёт

и после дифференцирования получаем

Формула тангенса половинного угла даёт для синуса

и для косинуса формула даёт

Примеры

Первый пример Найдём интеграл

Используя универсальную тригонометрическую подстановку, получаем

Чтобы вычислить последний интеграл, используем разложение дробей:

Далее, согласно формуле тангенса половинного угла, можно заменить на , и тогда получаем

или так же мы можем заменить на .

Второй пример: определённый интеграл Разница между определённым и неопределённым интегрированием состоит в том, что при вычислении определённого интеграла нам не обязательно преобразовывать полученную функцию от переменной   обратно к функции от переменной , если корректно изменить пределы интегрирования.

Например,

Если изменяется от 0 до , изменяется от 0 до 1/2. Это означает, что величина , равная , изменяется от 0 до 1/2. Тогда можно найти пределы интегрирования по переменной :

перемножая обе части уравнения на 2 и на , получаем:

Решая квадратное уравнение, получаем два корня

Возникает вопрос: какой из этих двух корней подходит для нашего случая? Ответить на него можно, рассмотрев поведение

как функцию от и как функцию от . Когда изменяется 0 до , функция изменяется от 0 до 1, и потом назад до 0. Эта функция проходит через значение 1/2 дважды — при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении от 1 до 0. Когда изменяется от 0 до ∞, функция изменяется от 0 до 1 (когда  = 1) и потом обратно до  0. Она проходит значение 1/2 при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении: первый раз при  = 2 − √3 и потом опять при  = 2 + √3.

Произведя несложные алгебраические преобразования, получим

Выделяя полный квадрат, получаем

Введём новую переменную

Отсюда

при

и предел интегрирования будет

так как выше было определено, что

Тогда интегрирование даёт

На последнем шаге использовано известное тригонометрическое тождество

Третий пример Подстановку Вейерштрасса можно использовать при нахождении интеграла от секанса:

Имеем

Как и в первом примере, используем разложение дроби:

Геометрия

Линейное преобразование дробей Два компонента

являются соответственно действительной и мнимой частями числа

(считаем, что действительное).

Для гиперболических функций Похожие формулы существуют и для гиперболических функций. Пусть

тогда

Примечания

Ссылки Подстановка Вейерштрасса на сайте PlanetMath Weisstein E. W. «Weierstrass Substitution.» From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

Категория:Интегральное исчисление