Закон Ампера — Максвелла (синоним: обобщенная теорема Ампера о циркуляции) — закон электромагнетизма, исторически завершивший создание замкнутой и непротиворечивой классической электродинамики.
Открыт Максвеллом, обобщившим теорему Ампера о циркуляции магнитного поля на общий случай, включающий переменные несоленоидальные (незамкнутые) токи и меняющиеся во времени поля.
Формулировка этого закона составляет четвёртое уравнение Максвелла:
Это же уравнение в дифференциальной форме:
(здесь в левой части ротор магнитного поля, — оператор набла, — векторное произведение).
Обобщение теоремы Ампера о циркуляции потребовалоНе вполне ясно, какую роль в ходе мыслей Максвелла при написании правильного уравнения сыграло описываемое в данной статье рассуждение, однако логически оно полностью обосновывает сделанное Максвеллом исправление, независимо от того, насколько точной реконструкцией его подхода оно является. ввести в формулу Ампера дополнительный член с током смещения.
Обоснование Теорема Ампера о циркуляции магнитного поля, сводящаяся к формуле
верная в рамках магнитостатики (и никак не меняющаяся при добавлении электростатики) достаточно хорошо обоснована эмпирически для статических (а также и для медленно меняющихся со временем) полей. Теоретически она прямо связана с законом Био-Савара (аналогом закона Кулона в магнитостатике) и может быть доказана как теорема исходя из него (так же как и обратно закон Био - Савара может быть получен из основных уравнений магнитостатики — формулы Ампера и закона Гаусса для магнитного поля).
Поэтому при поиске варианта этой формулы для общего случая меняющихся полей и токов, то есть аналогичного закона в электродинамике, можно исходить из хорошо обоснованного постулата, что теорема Ампера верна для постоянных токов и постоянных во времени полей (из чего исторически и исходил Максвелл).
Однако при переходе к общему случаю переменных токов (и меняющихся во времени полей), обнаруживается, что мы не можем пользоваться этой формулой, по крайней мере, не можем пользоваться ею в неизменном виде (а это означает, что формула должна быть как-то исправлена, хотя, по-видимому, общую её структуру хотелось бы сохранить, раз уж она хорошо работает в магнитостатическом случае).
Возникающую проблему (состоящую в том, что формула Ампера становится внутренне противоречивой при попытке использовать её вне магнитостатики) мы опишем несколько по-разному в двух параграфах ниже, так же как и несколько по-разному обоснуем в каждом из них необходимую поправку.
Элементарное обоснование на частном примере Рассмотрим конкретно представленную на схеме электрическую цепь, содержащую конденсаторДля большей части рассуждений параграфа можно рассмотреть просто разрыв в цепи, но это тоже вариант конденсатора (на концах провода накапливаются заряды); в конце же параграфа для получения вида поправки простейшим способом лучше всего считать, что мы имеем дело с идеальным плоским конденсатором..
Например, это может быть простой колебательный контур, как на рисунке (конденсатор обозначен на нём как C, а L - катушка индуктивности). (Нас на самом деле будет интересовать только часть цепи вблизи конденсатора, а остальная часть схемы не важна, то есть вместо L может быть просто проводВпрочем, и провод имеет некоторую индуктивность, так что этот случай не отличается от случая с катушкой., а может содержать и какое угодно устройство, способное (автоматически или вручную) изменять ток, текущий в конденсатор, например, это может быть электрическая батарея с выключателем. Будем считать для простоты, что зазор между пластинами конденсатора не содержит способной поляризоваться среды, то есть это вакуум (или, скажем, воздух, поляризуемостью которого можно с хорошей точностью пренебречь).
Иными словами, мы здесь можем ограничиться рассмотрением только вот этой части цепи:
Теперь можно приступить к анализу работы формулы Ампера в этом нашем конкретном примере.
1. Непротиворечивость исходной теоремы в нашем примере для случая постоянного тока:
В случае наложенного условия постоянности тока в цепи, оказывается, что ток через конденсатор просто не может течь. Действительно, если ток, втекающий на пластины конденсатора не меняется со временем, то заряд на пластинах растет до бесконечности, что, очевидно, физически бессмысленно, и такой вариант можно смело исключить из рассмотренияЕсли такой случай всё же включить формально в класс случаев магнитостатики на том основании, что какое-то конечное время ток может сохраняться постоянным, то окажется, что уже в этом случае теорема Ампера внутренне противоречива и требует исправления (см. в статье дальше). Это и есть одна из причин, по которой такой вариант постоянства тока логично исключить из области магнитостатики.. Таким образом, теорема Ампера в этом случае очевидно работает, так как нет никаких токов и магнитных полей, т.е. левая и правая часть уравнения
просто нулевыеМы рассмотрели тут специально только случай, когда вставлен конденсатор. А то, что формула непротиворечива в случае постоянного тока для цепей, не содержащих разрывов (конденсаторов), мы принимаем за известный из магнитостатики факт. В частности, если провести все те рассуждения, которые приведены далее в этом параграфе и которые приводят к противоречию в случае переменных токов в проводе с разрывом (конденсатором), для случая провода без разрыва, где ток одинаков в разных его участках, мы получим не противоречие, а согласованные результаты..
Однако всё коренным образом меняется, когда мы рассматриваем переменные токи (которые, конечно же, возможны в реальности). Эта формула начинает давать противоречивые результаты, если попытаться её использовать.
2. Противоречие исходной формулы в случае переменного тока:
Действительно, выберем конкретную поверхность интегрирования такой, чтобы она проходила между пластинами конденсатора (то есть на рисунке - почти горизонтальной, чтобы проходить между горизонтальными пластинами, не касаясь их; будем - просто для определенности и удобства - считать, что она почти горизонтальна и за краями пластин конденсатора; можно выбрать её и строго горизонтальной) и выходящей за его края, то есть большей площади, чем пластины. Тогда край этой поверхности , представляющий собой контур для вычисления интеграла (циркуляции B) в левой части, будет некоторой кривой вокруг конденсатора (а если мы выбрали строго горизонтальной, то этот контур будет также лежать в горизонтальной плоскости).
Поверхность нигде не пересекается проводником, через неё нигде не течет ток (j в зазоре конденсатора везде равно нулю, там нет зарядов, способных переносить ток). Значит, правая часть уравнения равна нулю, и, в предположении что само уравнение верно - нулю равна и левая - то есть циркуляция магнитного поля по краю :
Обозначим C этот край поверхности (контур интегрирования в левой части уравнения): .
Однако - не единственная поверхность, имеющая такой край. На контур C можно «натянуть» и другую, не совпадающую с S, поверхность, и даже бесконечно много различных поверхностей (так что край у всех будет совпадать).
Конкретно выберем («натянем» на C) другую поверхность так, чтобы её край совпадал с C, а сама она проходила не через зазор конденсатора, а чуть выше, пересекая провод, подводящий к конденсатору ток (такую поверхность можно получить из несколько выгнув её вверх).
Очевидно, что интеграл в правой части, представляющий собой электрический ток через поверхность не равен нулю:
Получилось противоречие, т.к. в левой части, вследствие
стоит один и тот же контурный интеграл по контуру C, а правые части дают разный результат:
Следовательно, формула Ампера в своем первоначальном виде противоречива в случае переменных токовв том числе для случая, когда ток остаётся постоянным в течение некоторого промежутка времени.
3. Нахождение поправки, устраняющей противоречие:
Уже чисто качественно довольно очевидно, что в зазоре конденсатора (там, где проходит поверхность и где j = 0), есть, наверное, единственное, что могло бы заменить собой j, чтобы интеграл по дал тот же результат, что по , и этим самым устранилось противоречие. Это меняющееся электрическое поле.
Более того, сразу видно, что быстрота изменения напряженности электрического поля в конденсаторе пропорциональна току, подходящему к этому конденсатору (а этот ток - и есть интеграл по второй поверхности:
Значит, есть шанс, что проинтегрировав по поверхности мы получим результат, совпадающий с I (может быть, домножив на какой-то коэффициент).
Теперь осталось выяснить, каким должен быть этот коэффициент и убедиться, что все детали вычислений совпадают.
Для этого выразим теперь поле в конденсаторе количественно:
(в выбранных нами здесь единицах измеренияО выбранной в этой статье системе единиц (максимально упрощающей формулы), см. в статье выше. В других системах единиц формула для E будет отличаться постоянным коэффициентом, например в СИ , что, конечно же повлияет и на коэффициент при поправочном члене в окончательном ответе - в зависимости от выбранной системы единиц.).
Если законно пренебречь краевыми эффектами (считая площадь пластин конденсатора очень большой, а расстояние между ними маленьким)Это нужно только для максимального упрощения вычислений, которая сделает более очевидным их смысл., можем пользоваться формулой для напряженности поля, выписанной выше, по всей площади конденсатора (за исключением самых краев, областями вблизи которых мы пренебрегаем), а направление вектора E всюду (за тем же исключением) перпендикулярно пластинам (на рисунке - вертикально). Плотность заряда (в том же приближении) не зависит от положения (постоянна на подавляющей части пластины).
Исходя из всего этого поток
То есть он точно равен I, а значит коэффициент не нужен (он равен единице)Опять же в нашей системе единиц (что не удивительно, т.к. она специально выбиралась такой, чтобы все лишние коэффициенты пропадали).
Итак, имеем для поправочного члена (который мы обосновали для интегрирования по , но который, видимо, должен оставаться таким и для произвольной поверхности интегрирования) ,
а сама формула Ампера после добавки этого поправочного члена приобретает вид:
или
(В нашем примере когда мы интегрируем по - «работает» член - на этой поверхности , а когда по - «работает» член - на этой поверхности превращается в нольТ.к. поле в принятом нами приближении целиком сосредоточено в зазоре конденсатора, а вне него пренебоежимо мало.).
Таким образом, мы нашли поправочный член Максвелла к формуле Ампера и показали, что он устраняет противоречивость формулы в нашем простом примере. На самом деле он устраняет противоречивость формулы не только в этом частном случае, а всегда. Доказательство последнего утверждения содержится в следующем параграфе, оно чуть более формальное.
Стандартное общее обоснование Здесь мы покажем, что поправка к формуле Ампера необходима и что она может иметь вид, предложенный Максвеллом, а также по возможности проследим, как она может быть точно построена из достаточно естественных и конструктивных соображений.
1. Начнем с утверждения о сохранении заряда.Исходить из сохранения заряда не требуется для того, чтобы показать внутреннюю противоречивость формулы Ампера вне магнитостатики. Однако сохранение заряда оказывается важным для конструктивного построения поправки Максвелла. В этом смысле можно заметить, что приводимое здесь построение служит иллюстрацией утверждения: если бы заряд не сохранялся, то и электродинамика в целом не могла бы быть такой, как она есть. Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности:
где — плотность тока, — плотность заряда, — дивергенция плотности тока .
2. Проанализируем непротиворечивость формулы Ампера в магнитостатическом случае вот в каком смысле: