Последовательность Морса — Туэ — бесконечная последовательность нулей и единиц (битов), впервые предложенная в 1906 году норвежским математиком Акселем Туэ в качестве примера апериодической рекурсивно вычислимой строки символов. Существует два варианта последовательности, получающиеся друг из друга инверсией битов:
10010110011010010110100110010110… () — дополнительная 01101001100101101001011001101001… () — основная
Последовательность Морса — Туэ является простейшим примером фрактала и находит своё применение в алгоритмах фрактального сжатия изображений.
Определения Последовательность можно определить многими разными эквивалентными способами: Выполняя преобразование ; , взяв за первую итерацию : 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 Начинаем с 1. На каждом шаге дописываем к числу инверсию этого числа. Инверсия получается заменой всех нулей на единицы, а единиц на нули. К примеру, инверсией числа 1001 будет число 0110. (По-другому инверсию числа можно описать так: это число, дополняющее уже написанное до числа, состоящего только из единиц; например 1001+0110=1111 в двоичной системе счисления) Шаг 1: 1 Шаг 2: 10 Шаг 3: 1001 Шаг 4: 10010110 Шаг 5: 1001011001101001 ... Выпишем подряд числа 0,1,2,3... в двоичной системе, и посчитаем количество цифр 1 в каждом числе. (Получим .) Затем возьмем остаток этого числа от деления на 2. в десятичной записи в двоичной кол-во единиц кол-во единиц mod 20000101112101131120410011510120611020711131
История Последовательность была открыта в 1851 году Пруэ (), который нашёл ей применение в теории чисел, однако не описал исключительные свойства последовательности. И только в 1906 году Аксель Туэ при изучении комбинаторики открыл её заново.
Публикация работы Туэ в Германии прошла бесследно, и последовательность вновь открывает Марсон Морс в 1921, применив её в дифференциальной геометрии.
Последовательность открывалась независимо много раз: например гроссмейстер Макс Эйве открыл её применение в шахматах, показав, как играть бесконечно, не нарушая правил ничьей.
Свойства
Симметрии Как и любой фрактал, последовательность Морса — Туэ обладает рядом симметрий. Так, последовательность остаётся сама собой: При удалении всех элементов на чётных местах: 10 01 01 10 01 10 10 01 01 10 10 01 10 01 01 10...
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1... При замене двух частей, из которых можно составить целое, другими двумя символами. Это означает, что последовательность нельзя заархивировать по алгоритму Хаффмана, так как последовательность, являющаяся «архивом» будет совпадать с самой последовательностью Морса — Туэ: 1001 0110 0110 1001 0110 1001 1001 0110... 1 0 0 1 0 1 1 0...
Другие свойства В последовательности никогда не встречаются три одинаковых подряд идущих части (невозможно встретить «A-A-A», где «A» — последовательностей нулей и единиц); Дискретное преобразование Фурье последовательности имеет одинаковые максимумы на частотах ⅓ и ⅔; Число, двоичной записью которого является последовательность Морса — Туэ, называется числом Пруэ-Туэ-Морса: (), где — элементы последовательности Морса-Туэ. Это число трансцендентно (доказано K. Mahler в 1929 году).
Также известно значение следующего бесконечного произведения:
Вариации и обобщения
Обобщение на произвольный алфавит Имея произвольный алфавит из n символов, можно составить ровно n разных циклических перестановок этого алфавита. Затем, заменяя каждую «букву» алфавита на соответствующую перестановку, можно получить последовательность Морса — Туэ. Так например из трёх символов «1», «2», «3» можно составить три циклических перестановки: «123», «231», «312»:
1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1...
Многомерное обобщение
Многомерная последовательность Морса — Туэ определяется подобным образом. Так например двумерная последовательность (матрица) является пределом последовательности, каждый следующий член которой получается из предыдущего при помощи преобразования
Также двумерную последовательность Морса-Туэ можно представить как совокупность одномерных.
Примечания
Ссылки
Категория:Комбинаторика Категория:Целочисленные последовательности