Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к нулю, но остается почти всюду в конечных пределах.
Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 годуXинчин А. Я., «Fundam. math.», 1924, v. 6, p. 9–20.Хинчин А. Я. «Основные законы теории вероятностей» , 1932.. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 годуКолмогоров А. Н., «Math. Ann.», 1929, Bd 101, S. 126–135...
Теорема Пусть — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть Тогда почти наверное:
где — натуральный логарифм, — верхний предел, — нижний предел.
Обобщения и дополнения Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. ФеллеромW. Feller, "The general form of the so-called law of the iterated logarithm" Trans. Amer. Math. Soc. , 54 (1943) pp. 373–402.. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. ШтрассенV. Strassen, "An invariance principle for the law of the iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) pp. 211–226.. Им же доказаноV. Strassen, "A converse to the law of iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965–1966) pp. 265–268., что если — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то
Взаимосвязь с другими предельными теоремами Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы с делителем стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное: почти наверное при
Центральная предельная теорема утверждает, что суммы с делителем сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.
Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное: и ни к чему не стремится почти наверное при .
Таким образом, хотя величина будет меньше, чем любое заданное с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка почти наверное.
Примечания
Категория:Теория вероятностей Категория:Случайные процессы Категория:Математическая статистика