Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.
Формально определяется как предаддитивная категория, в которой выполнены следующие свойства: в ней существует нулевой объект, существуют все бинарные произведения и копроизведения, существуют все ядра и коядра, все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.
Это определение эквивалентно следующему определению «по частям»: предаддитивная категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны. Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырёх свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.
Понятие абелевой категории было предложено в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году. В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп, эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории: обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.
Примеры Категория абелевых групп является абелевой, как и категория конечнопорождённых абелевых групп.
Категория модулей над заданным кольцом (правых унитарных модулей над ) — абелева; более того, согласно теореме Фрейда — Митчелла о вложении, любая малая абелева категория эквивалентна полной подкатегории некоторой категории модулей.
Если — нётерово слева кольцо, то категория конечнопорождённых левых -модулей является абелевой. В частности, категория конечнопорождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева.
Если — топологическое пространство, то категория пучков абелевых групп на абелева.
Аксиомы Гротендика В статье Sur quelques points d’algèbre homologique Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории : AB3) для любого множества объектов категории существует копроизведение . Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории ; AB4) удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором); AB5) удовлетворяет аксиоме AB3) и точных последовательностей точны; эквивалентно, для любой решётки подобъектов объекта и любого — подобъекта объекта верно, что .
Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из основных аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы). Аксиомы AB1) и AB2) — стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам): AB1) у любого морфизма существует ядро и коядро; AB2) для любого морфизма канонический морфизм из в является изоморфизмом. (Здесь ).
Гротендик также сформулировал более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использовал их в работе.
Примечания
Литература
Категория:Теория категорий Категория:Гомологическая алгебра