Гипотеза Тёплица, также известная как гипотеза о вписанном квадрате — следующий открытый вопрос сформулирванный Отто Тёплицем в 1911 годуToeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197.: Верно ли, что на любой замкнутой плоской кривой Жордана существуют четыре точки, образующие вершины квадрата. Первые положительные результаты в частных случаях были получены Арнольдом Эмчем и Львом Шнирельманом Гипотеза Тёплица верна для выпуклых кривых, кусочно-гладких кривых и в других специальных случаях. Для гладких кривых задача решена.
Описание Пусть C — кривая Жордана. Многоугольник P вписан в C , если все вершины P принадлежат C. Проблема вписанного квадрата заключается в следующем:
Можно ли на каждой кривой Жордана отыскать вписанный квадрат?
При этом не требуется, чтобы вершины квадрата находились в каком-либо определённом порядке.
Для некоторых кривых, например, для окружности и квадрата, можно указать бесконечно много вписанных квадратов. В тупоугольный треугольник можно вписать ровно один квадрат.
Вальтер Стромквист доказал, что в каждую локально монотонную простую плоскую кривую можно вписать квадрат. Доказательство применимо к кривым C, обладающим свойством локальной монотонности: для любой точки p, лежащей на C, существует такая окрестность U(p), что ни одна хорда C в этой окрестности не является параллельной заданному направлению n(p) (направлению оси ординат). К локально монотонным кривым относятся все выпуклые кривые и все кусочно-заданные непрерывно дифференцируемые кривые без точек возврата.
Утвердительный ответ также известен для центрально симметричных кривых.
Варианты и обобщения Известно, что для любого заданного треугольника T и жордановой кривой C существует треугольник, подобный T и вписанный в C.. Более того, множество вершин таких треугольников является плотным в C. В частности, всегда существует вписанный равносторонний треугольник. Также в любую жорданову кривую можно вписать прямоугольник.
В некоторых обобщениях проблемы вписанного квадрата рассматриваются вписанные в кривые многоугольники. Существуют также обобщения для многомерных евклидовых пространств. Так, Стромквист доказал, что в любую непрерывную замкнутую кривую , удовлетворяющую «условию A», можно вписать четырёхугольник с равными сторонами и равными диагоналями; «условие A» заключается в том, что никакие две хорды C в соответствующей окрестности любой точки не должны быть перпендикулярными. Этот класс кривых включает все кривые C2. Нильсен и Райт доказали, что любой симметричный континуум содержит вписанные прямоугольники. Генрих Гуггенхаймер доказал, что любая гиперповерхность, C3-диффеоморфная сфере Sn−1, содержит 2n вершин правильного евклидова гиперкуба.
Примечания
Дополнительная литература Victor Klee and Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, Number 11, Mathematical Association of America, 1991
Внешние ссылки Mark J. Nielsen, Figures Inscribed in Curves. A short tour of an old problem Inscribed squares: Denne speaks at Jordan Ellenberg's blog
Категория:Кривые Категория:Открытые математические проблемы