В теории графов зигзаг-произведение регулярных графов (обозначается ) берёт большой граф и маленький граф и создаёт граф, примерно наследующий размер большого графа, но степень малого. Важным свойством зигзаг-произведения является то, что для хорошего экспандера распространение результирующего графа лишь слегка хуже распространения графа .
Грубо говоря, зигзаг-произведение заменяет каждую вершину графа копией (облаком) графа и соединяет вершины, делая малый шаг (zig) внутри облака, а затем большой шаг (zag) между двумя облаками, и ещё один малый шаг внутри конечного облака.
Зигзаг-произведение введено Рейнгольдом, Вадханом и Вигдерсоном. Зигзаг-произведение первоначально использовалось для явного конструирования экспандеров и экстракторов постоянной степени. Позднее зигзаг-произведение использовано в теории вычислительной сложности для доказательства равенства и .
Определение Пусть — -регулярный граф над c поворотом , и пусть — -регулярный граф над c отображение ротации .
Зигзаг-произведение определяется как -регулярный граф над , поворот которого определяется следующим образом: : . . . .
Свойства
Уменьшение степени Непосредственно из определения зигзаг-произведения следует, что граф преобразуется в новый -регулярный граф. Таким образом, если существенно больше чем , зигзаг-произведение уменьшает степень графа .
Грубо говоря, зигзаг-произведение превращает каждую вершину графа в облако размера графа и распределяет дуги каждой исходной вершины по вершинам облака, заменившего её.
Сохранение спектрального зазора Распространение графа может быть измерено его спектральным зазором. Важным свойством зигзаг-произведения является сохранение спектрального зазора. Таким образом, если «достаточно хороший» экспандер (имеет большой спектральный зазор), то распространение зигзаг-произведения близко к исходному распространению графа .
Формально: определяется как любой -регулярный граф с вершинами, у которого второе по величине собственное значение имеет абсолютное значение как минимум .
Пусть — и — — два графа, тогда является графом , где .
Сохранение связности Зигзаг-произведение работает отдельно для каждой компоненты связности графа .
Формально: пусть даны два графа: — -регулярный граф над и — -регулярный граф над . Если является компонентой связности графа , то , где — подграф графа , образованный вершинами (то есть граф над , содержащий все дуги из между вершинами из ).
Приложения
Конструирование экспандеров постоянной степени В 2002 году Омер Рейнгольд, Салил Вадхан и Ави Видгерсон показали простое явное комбинаторное конструирование экспандеров постоянной степени. Конструирование производится итеративно и требует в качестве базиса экспандер постоянной степени. На каждой итерации используется зигзаг-произведение для создания другого графа, чей размер увеличивается, но степень и распространение остаются неизменными. Повторение процесса позволяет создать произвольно большие экспандеры.
Решение ненаправленной s-t задачи связности в логарифмическом пространстве памяти
В 2005 году Омер Рейнгольд представил алгоритм решения задачи st-связности, использующий логарифмическое пространство памяти. Задача состоит в проверке, существует ли путь между двумя заданными вершинами ненаправленного графа. Алгоритм сильно опирается на зигзаг-произведение.
Грубо говоря, для решения ненаправленной задачи s-t связности в логарифмическом пространстве памяти исходный граф преобразуется с использованием комбинации произведения и зигзаг-произведения в регулярный граф постоянной степени с логарифмическим диаметром. Произведение увеличивает распространение (ввиду увеличения диаметра) за счёт увеличения степени, а зигзаг-произведение используется для уменьшения степени с сохранением распространения.
См. также Операции над графами
Примечания
Литература
Категория:Теория графов