Клебш-Горданови коефицијенти са ознаком или користе се у математици и физици да би се за Лијеве групе декомпоновао тензорски производ две иредуцибилне репрезентације. Користе се и приликом сабирања угаоних момената. Именовани су у част немачких математичара Алфреда Клебша и Паула Алберта Гордана. Дефиниција Нека Лијева група има две иредуцибилне репрезентације и . Вектори базе у две репрезентације претпоставимо да су и . Иредуцибилни тензорски оператор представља тензорске компоненте , које се трансформишу по иредуцибилним репрезентацијама групе, тј. ако задовољавају услов:

Вектори , где образују базу репрезентације од . У општем случају тај приказ је редуцибилан, па се даде приказати помоћу линеарних комбинација базе иредуцибилих репрезентација. Добија се:

Тако дани коефицијенти називају се општи Клебш-Горданови коефицијенти групе . Оператори угаоних момената Оператори угаоних момената су аутоадјунгирани оператори, који задовољавају релације комутације:

а је Леви-Чивита симбол. Три оператора заједно чине векторски оператор:

је пример Казимировога оператора.

Стања угаоних момената Из горњих дефиниција добија се да комутира са , and :

Када два ермитска оператора комутирају тада постоји заједнички скуп својствених функција. Одаберу ли се и онда налазимо својствена стања користећи комутационе релације:

С друге стране оператори и мењају вредности:

Стања угаоних момената мора да буду ортогоналана и нормализирана:

Тензорски производ Нека представља -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

Други простор нека је -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

Тензорски производ тих простора је димензионалан простор са базом:

Дејство оператора на таквој бази може се дефинисати помоћу:

и

Укупни угаони момент се онда може дефинисати са:

Угаони моменти задовољавају комутационе релације: па следи:

Укупни угаони момент треба да задовољава триангуларну релацију:

Укупан број својствених стања једнак је димензији

Формална дефиниција коефицијената Стања укупнога угаонога момента могу се развити:

а коефицијенти тога развоја називају се Клебш-Горданови коефицијенти. Уколико на обе стране горњега израза применимо оператор онда можемо да видимо да су коефицијенти различити од нуле само ако је

Рекурзије Уз помоћ оператора добијамо:

Применимо ли исти оператор на десну страну прве једначине из прошлога поглавља добија се:

Комбинујући те резултате добија се рекурзија:

Узмемо ли добијамо:

Ортогоналност

Експлицитан приказ коефицијената

Специјални случајеви За Клебш-Горданови коефицијенти су:

За и имамо

За и вреди:

За вреди:

За имамо:

Симетрије

Веза са 3-jm симболима и D-матрицама Клебш-Горданови коефицијенти повезани су са 3-ј симболима:

Интеграцијом три Вигнерове D матрице добија се Клебш Горданов коефицијент:

Литература

.

Спољашње везе 3ј, 6ј и 9ј симболи

Категорија:Лијеве групе Категорија:Ротациона симетрија Категорија:Квантна механика