Хелмхолцова теорема или Хелмхолцова декомпозиција представља једну од теорема векторскога рачуна. Према тој теореми ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада унутар ње векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну. Хелмолцова теорема је добила име по Херману фон Хелмхолцу.
Теорем Ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада се унутар те области то векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну, тј:
где је: и
То заправо значи да се такво векторско поље може генерирати са два потенцијала, једним скаларним и другим векторским . Потенцијали Пошто је:
Онда се те две функције даду изразити преко скаларнога потенцијала и векторскога потенцијала тј:
односно:
При томе је:
Ако опада довољно брзо у бесконачности, тада друга компонента тежи нули, па вреди:
Лонгитудинална и трансверзална поља Често се у физици те две компоненте векторскога поља помињу као лонгитудинална и трансверзална компонента. Таква терминологија настала је када се Фуријеовом трансформацијом од поља добије поље , које се онда у свакој тачки k декомпонира у две компоненте, од којих је лонгитудиналан у смеру k, а трансверзална вертикална на k. Тада имамо:
Инверзном Фуријеровом трансформацијом добијамо:
што представља Хелмхолцову декомпозицију.
Литература
Хелмхолцова теорема -{George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995)}-
Категорија:Векторска анализа Категорија:Аналитичка геометрија Категорија:Херман фон Хелмхолц Категорија:Фундаменталне теореме