225px|thumb|right|Артур Кејли, F.R.S. (1821–1895) сматра се водећим британским чистим математичарем 19. века. Кејли је 1848. отишао у Даблин да присуствује предавањима о кватернионима које је држао Хамилтон, њихов откривач. Касније га је Кејли импресионирао тиме што је био други који је објавио рад о њима. Кејли је формулисао теорему за матрице димензија 3 или мање, и објавио доказ за дводимензионални случај. 225px|thumb|right|Вилијам Роуан Хамилтон (1805–1865), ирски физичар, астроном и математичар, први инострани члан америчке Националне академије наука. Иако је имао супротан став о томе како геометрија треба да се проучава, Хамилтон је увек остао у најбољим односима са Кејлијем.Хамилтон је доказао да за линеарну функцију кватерниона постоји одређена једначина, која зависи од линеарне функције, а коју задовољава сама линеарна функција.
У линеарној алгебри, Кејли—Хамилтонова теорема (названа по математичарима Артуру Кејлију и Вилијаму Роуану Хамилтону) тврди да свака квадратна матрица над комутативним прстеном (као што су реални или комплексни бројеви или цели бројеви) задовољава своју карактеристичну једначину.
Карактеристични полином матрице дефинисан је као , где је операција детерминанте, је променљива скаларног елемента базног прстена, а је јединична матрица. Пошто је сваки елемент матрице или константа или линеаран по , детерминанта од је монични полином степена по , па се може записати као
Заменом скаларне променљиве матрицом , може се дефинисати аналогни матрични полином,
(Овде је дата матрица — није променљива, за разлику од — тако да је константа, а не функција.) Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је овај полиномијални израз једнак нула-матрици, што значи да је то јест, карактеристични полином је анулирајући полином за
Једна од употреба Кејли—Хамилтонове теореме је то што омогућава да се изрази као линеарна комбинација нижих степена матрице :
Када је прстен поље, Кејли—Хамилтонова теорема је еквивалентна тврдњи да минимални полином квадратне матрице дели њен карактеристични полином.
Специјалан случај теореме први је доказао Хамилтон 1853. године у терминима инверза линеарних функција кватерниона. Ово одговара специјалном случају одређених реалних или комплексних матрица. Кејли је 1858. формулисао резултат за и мање матрице, али је објавио доказ само за случај . Што се тиче матрица, Кејли је изјавио: „..., нисам сматрао потребним да предузимам рад на формалном доказу теореме у општем случају матрице било ког степена”. Општи случај је први доказао Фердинанд Фробенијус 1878. године.
Примери
1 × 1 матрице
За матрицу , карактеристични полином је дат са , па је тривијално.
2 × 2 матрице
Као конкретан пример, нека је
Њен карактеристични полином је дат са
Кејли—Хамилтонова теорема тврди да, ако дефинишемо
онда је
Рачунањем можемо проверити да заиста важи:
За општу матрицу,
карактеристични полином је дат са , па Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је
што је заиста увек случај, што је очигледно израчунавањем елемената ....
Примене
Детерминанта и инверзна матрица
За општу инверзибилну матрицу , тј. ону са детерминантом различитом од нуле, −1 се може записати као полиномијални израз реда по : Као што је назначено, Кејли—Хамилтонова теорема се своди на идентитет
Коефицијенти су дати елементарним симетричним полиномима сопствених вредности матрице . Користећи Њутнове идентитете, елементарни симетрични полиноми се заузврат могу изразити преко степених збирова симетричних полинома сопствених вредности:
где је траг матрице . Дакле, можемо изразити преко трага степена матрице .
Уопштено, формула за коефицијенте дата је преко комплетних експоненцијалних Белових полинома каоВиди одељак 2 у . Експлицитан израз за коефицијенте пружа :
где се збир узима преко скупова свих целобројних партиција које задовољавају једначину
Посебно, детерминанта од је једнака . Дакле, детерминанта се може записати као идентитет трага:
Слично томе, карактеристични полином се може записати као
и, множењем обе стране са (приметимо да је ), долази се до израза за инверз матрице као идентитет трага,
Други метод за добијање ових коефицијената за општу матрицу, под условом да ниједан корен није нула, ослања се на следећи алтернативни израз за детерминанту,
Отуда, на основу Меркаторовог реда,
где експоненцијал треба развити само до реда , пошто је реда , а нето негативни степени од аутоматски нестају према К—Х теореми. (Опет, ово захтева прстен који садржи рационалне бројеве.) Диференцирање овог израза по омогућава да се коефицијенти карактеристичног полинома за опште изразе као детерминанте матрица,Види, нпр., стр. 54 у , који решава Јакобијеву формулу,
где је адјунгована матрица из наредног одељка.
Такође постоји еквивалентан, повезан рекурзивни алгоритам који су увели Урбен Леверије и Дмитриј Константинович Фадев — Фадев—Леверијеов алгоритам, који гласи
... (види, нпр., .) Приметимо јер се рекурзија завршава. Види алгебарски доказ у следећем одељку, који се ослања на модове адјунговане матрице, . Конкретно, и горњи извод од када се нађе његов траг даје
(), и горње рекурзије, заузврат.
Примери На пример, првих неколико Белових полинома су = 1, , , и .
Коришћењем ових за одређивање коефицијената карактеристичног полинома матрице добија се
Коефицијент даје детерминанту матрице, минус њен траг, док је њен инверз дат са
Очигледно је из опште формуле за cn−k, изражене преко Белових полинома, да изрази
увек дају коефицијенте уз и уз у карактеристичном полиному било које матрице, редом. Дакле, за матрицу , исказ Кејли—Хамилтонове теореме се такође може записати као
где десна страна означава матрицу са свим елементима једнаким нули. Слично томе, ова детерминанта у случају , је сада
Овај израз даје негативну вредност коефицијента уз у општем случају, као што се види испод.
Слично томе, може се записати за матрицу ,
где је сада детерминанта ,
и тако даље за веће матрице. Све сложенији изрази за коефицијенте могу се извести из Њутнових идентитета или Фадев—Леверијеовог алгоритма.
n-ти степен матрице Кејли—Хамилтонова теорема увек пружа везу између степена матрице (иако не увек најједноставнију), која омогућава поједностављење израза који укључују такве степене, и њихово израчунавање без потребе за рачунањем степена n или било којих виших степена од .
Као пример, за теорема даје ... Тада, за израчунавање , приметимо
Слично томе,
Приметимо да смо успели да запишемо степен матрице као збир два члана. Заправо, степен матрице било ког реда може се записати као матрични полином степена највише , где је величина квадратне матрице. Ово је пример где се Кејли—Хамилтонова теорема може користити за изражавање матричне функције, о чему ћемо систематично расправљати у наставку.
Матричне функције Дата је аналитичка функција
и карактеристични полином степена матрице димензија , функција се може изразити коришћењем дељења полинома као
где је неки полином количника, а полином остатка такав да је .
Према Кејли—Хамилтоновој теореми, заменом матрицом добија се , па имамо
Дакле, аналитичка функција матрице може се изразити као матрични полином степена мањег од .
Нека је полином остатка
Пошто је , израчунавање функције у сопствених вредности матрице даје
Ово се своди на систем од линеарних једначина, који се може решити ради одређивања коефицијената . Дакле, имамо
Када се сопствене вредности понављају, односно за неко , две или више једначина су идентичне; па се линеарне једначине не могу јединствено решити. За такве случајеве, за сопствену вредност вишеструкости , првих извода од нестаје у сопственој вредности. Ово доводи до додатних линеарно независних решења
која, комбинована са осталима, дају потребних једначина за решавање по .
Проналажење полинома који пролази кроз тачке је суштински проблем интерполације, и може се решити коришћењем техника Лагранжове или Њутнове интерполације, што води до Силвестерове формуле.
На пример, претпоставимо да је задатак пронаћи полиномијалну репрезентацију за где је
Карактеристични полином је , а сопствене вредности су . Нека је . Израчунавањем у сопственим вредностима, добијамо две линеарне једначине, и .
Решавање једначина даје и . Дакле, следи да је
Ако би, уместо тога, функција била , онда би коефицијенти били и ; отуда
Као даљи пример, када разматрамо где је
онда је карактеристични полином , а сопствене вредности су .... Као и раније, израчунавање функције у сопственим вредностима даје нам линеарне једначине и ; чије решење даје, и . Дакле, за овај случај,
што је матрица ротације.
Стандардни примери такве употребе су експоненцијално пресликавање из Лијеве алгебре матричне Лијеве групе у групу. Дато је матричним експоненцијалом,
Такви изрази су дуго познати за ,
где су Паулијеве матрице и за ,
што је Родригезова формула ротације. За нотацију, погледати 3D rotation group#A note on Lie algebras.
Недавно су се појавили изрази за друге групе, попут Лоренцове групе , и , као и . Група је конформна група простор-времена, њен једноструко повезан омотач (да будемо прецизни, једноструко повезан омотач повезане компоненте од ). Добијени изрази важе за стандардну репрезентацију ових група. Захтевају познавање (неких од) сопствених вредности матрице за експоненцирање. За (и тиме за ), затворени изрази су добијени за све иредуцибилне репрезентације, тј. било ког спина.
220px|thumb|right|Фердинанд Георг Фробенијус (1849–1917), немачки математичар. Његова главна интересовања била су елиптичке функције, диференцијалне једначине, и касније теорија група.Он је 1878. дао први потпун доказ Кејли–Хамилтонове теореме.
Алгебарска теорија бројева Кејли—Хамилтонова теорема је ефикасан алат за израчунавање минималног полинома алгебарских целих бројева. На пример, дато је коначно проширење од и алгебарски цео број који је не-нула линеарна комбинација можемо израчунати минимални полином од проналажењем матрице која представља -линеарно пресликавање
Ако назовемо ову матрицу трансформације , онда можемо пронаћи минимални полином применом Кејли—Хамилтонове теореме на .
Докази Кејли—Хамилтонова теорема је непосредна последица постојања Жорданове нормалне форме за матрице над алгебарски затвореним пољима, види . У овом одељку су представљени директни докази.
Као што примери изнад показују, добијање исказа Кејли—Хамилтонове теореме за матрицу
захтева два корака: прво се коефицијенти карактеристичног полинома одређују развојем детерминанте као полинома по
а затим се ови коефицијенти користе у линеарној комбинацији степена матрице која се изједначава са нула-матрицом:
Лева страна се може развити у матрицу чији су елементи (огромни) полиномијални изрази у скупу елемената од , па Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је сваки од ових израза једнак . За било коју фиксну вредност , ови идентитети се могу добити заморним али праволинијским алгебарским манипулацијама. Ниједан од ових прорачуна, међутим, не може показати зашто би Кејли—Хамилтонова теорема требало да важи за матрице свих могућих димензија , па је потребан униформан доказ за све ....
Прелиминарна разматрања Ако је вектор димензије сопствени вектор од са сопственом вредношћу , другим речима ако је , онда
што је нула-вектор пошто је (сопствене вредности од су управо нуле од ). Ово важи за све могуће сопствене вредности , тако да две матрице изједначене теоремом сигурно дају исти (нула) резултат када се примене на било који сопствени вектор. Сада, ако допушта базу сопствених вектора, другим речима ако је дијагонализабилна, онда Кејли—Хамилтонова теорема мора важити за , пошто две матрице које дају исте вредности када се примене на сваки елемент базе морају бити једнаке.