Игра нулте суме је математичка репрезентација у теорији игара и економској теорији ситуације која укључује два конкурентска ентитета, где резултат представља предност за једну страну и еквивалентан губитак за другу. Другим речима, добитак првог играча еквивалентан је губитку другог играча, тако да је нето побољшање користи од игре нула.

Ако се саберу укупни добици учесника и одузму укупни губици, њихов збир ће бити нула. Тако је дељење колача, где узимање већег комада смањује количину колача доступну осталима за онолико колико повећава количину доступну оном ко узима, игра нулте суме ако сви учесници једнако вреднују сваку јединицу колача. Остали примери игара нулте суме у свакодневном животу укључују игре попут покера, шаха, спорта и бриџа, где једна особа добија, а друга губи, што резултира нултом нето коришћу за сваког играча. На тржиштима и у финансијским инструментима, термински уговори и опције су такође игре нулте суме. Игра нулте суме се такође назива строго конкурентском игром, док игре које нису нулте суме могу бити или конкурентске или неконкурентске. Игре нулте суме се најчешће решавају минимакс теоремом која је уско повезана са дуалношћу линеарног програмирања,, chapters 1 & 7 или помоћу Нешовог еквилибријума.

Насупрот томе, игре са позитивном сумом или игре у којима сви добијају (енгл. win–win) описују ситуацију у којој збирни добици и губици страна у интеракцији могу бити већи од нуле. Затвореникова дилема је класична игра која није нулте суме.

Дефиниција

Својство нулте суме (ако један добија, други губи) значи да је сваки резултат ситуације са нултом сумом Парето оптималан. Уопштено, свака игра у којој су све стратегије Парето оптималне назива се конфликтном игром.

Игре нулте суме су специфичан пример игара константне суме где је збир сваког исхода увек нула. Такве игре су дистрибутивне, а не интегративне; „колач” се не може повећати добрим преговарањем.

У ситуацији када добитак (или губитак) једног доносиоца одлука не мора нужно резултирати губитком (или добитком) других доносилаца одлука, они се називају играма које нису нулте суме. Тако је земља са вишком банана која тргује са другом земљом за њен вишак јабука, при чему обе имају користи од трансакције, у ситуацији која није нулта сума. Друге игре које нису нулте суме су игре у којима је збир добитака и губитака играча понекад већи или мањи од онога са чиме су почели.

Идеја о Парето оптималној исплати у игри нулте суме доводи до генерализованог стандарда релативне себичне рационалности, стандарда кажњавања противника, где оба играча увек настоје да минимизују исплату противника уз повољну цену по себе, уместо да преферирају више уместо мање. Стандард кажњавања противника може се користити и у играма нулте суме (нпр. ратне игре, шах) и у играма које нису нулте суме (нпр. игре селекције удруживања).Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. . Chapter 1 and Chapter 4. Играч у игри има довољно једноставну жељу да максимизује свој профит, а противник жели да га минимизује.

Решење

За коначне игре нулте суме са два играча, ако је играчима дозвољено да играју мешовиту стратегију, игра увек има најмање једно равнотежно решење. Различити концепти решења у теорији игара као што су Нешов еквилибријум, минимакс и максимин сви дају исто решење. Приметите да ово не важи за чисту стратегију.

Пример

Игра нулте суме (за две особе)

Матрица исплате игре је прикладан приказ. Размотрите ове ситуације као пример, игру нулте суме за два играча приказану десно или изнад.

Редослед игре тече овако: Први играч (црвени) у тајности бира једну од две акције 1 или 2; други играч (плави), несвестан избора првог играча, у тајности бира једну од три акције А, Б или Ц. Затим се избори откривају и укупан број поена сваког играча се мења у складу са исплатом за те изборе.

Пример: Црвени бира акцију 2, а Плави бира акцију Б. Када се исплата расподели, Црвени добија 20 поена, а Плави губи 20 поена.

У овом примеру игре, оба играча познају матрицу исплате и покушавају да максимизују свој број поена. Црвени би могао да резонује на следећи начин: „Са акцијом 2, могао бих да изгубим до 20 поена и могу да освојим само 20, а са акцијом 1 могу да изгубим само 10, али могу да освојим до 30, тако да акција 1 изгледа много боље.” Са сличним расуђивањем, Плави би изабрао акцију Ц. Ако оба играча предузму ове акције, Црвени ће освојити 20 поена. Ако Плави предвиди резоновање и избор акције 1 од стране Црвеног, Плави би могао изабрати акцију Б, како би освојио 10 поена. Ако Црвени, са своје стране, предвиди овај трик и одлучи се за акцију 2, то Црвеном доноси 20 поена.

Емил Борел и Џон фон Нојман имали су фундаментални увид да вероватноћа пружа излаз из ове загонетке. Уместо да се одлуче за одређену акцију коју ће предузети, два играча додељују вероватноће својим акцијама, а затим користе насумични уређај који, према тим вероватноћама, бира акцију за њих. Сваки играч израчунава вероватноће тако да минимизује максимални очекивани губитак поена независно од стратегије противника. Ово доводи до проблема линеарног програмирања са оптималним стратегијама за сваког играча. Овај минимакс метод може израчунати вероватно оптималне стратегије за све игре нулте суме са два играча.

За горе наведени пример, испоставља се да би Црвени требало да изабере акцију 1 са вероватноћом и акцију 2 са вероватноћом , а Плави би требало да додели вероватноће 0, и за три акције А, Б и Ц. Црвени ће тада освајати поена у просеку по игри.

Решавање

Нешов еквилибријум за игру нулте суме са два играча може се пронаћи решавањем проблема линеарног програмирања. Претпоставимо да игра нулте суме има матрицу исплате где је елемент исплата која се добија када играч који минимизује бира чисту стратегију , а играч који максимизује бира чисту стратегију (тј. играч који покушава да минимизује исплату бира ред, а играч који покушава да максимизује исплату бира колону). Претпоставимо да је сваки елемент позитиван. Игра ће имати најмање један Нешов еквилибријум. Нешов еквилибријум се може наћи (Raghavan 1994, стр. 740) решавањем следећег линеарног програма да би се пронашао вектор :

Прво ограничење каже да сваки елемент вектора мора бити не-негативан, а друго ограничење каже да сваки елемент вектора мора бити најмање 1. За добијени вектор , инверзна вредност збира његових елемената је вредност игре. Множењем са том вредношћу добија се вектор вероватноће, који даје вероватноћу да ће играч који максимизује изабрати сваку могућу чисту стратегију.

Ако матрица игре нема све позитивне елементе, додајте константу сваком елементу која је довољно велика да их све учини позитивним. То ће повећати вредност игре за ту константу и неће утицати на равнотежне мешовите стратегије за еквилибријум.

Равнотежна мешовита стратегија за играча који минимизује може се наћи решавањем дуала датог линеарног програма. Алтернативно, може се наћи коришћењем горе наведене процедуре за решавање модификоване матрице исплате која представља транспоновану и негирану матрицу (додајући константу како би била позитивна), а затим решавањем резултујуће игре.

Ако се пронађу сва решења линеарног програма, она ће чинити све Нешове еквилибријуме за игру. Обрнуто, сваки линеарни програм се може претворити у игру нулте суме са два играча коришћењем промене променљивих која га ставља у облик горе наведених једначина, па су такве игре уопштено еквивалентне линеарним програмима.Илан Адлер (2012) The equivalence of linear programs and zero-sum games. Springer

Универзално решење

Ако је избегавање игре нулте суме избор акције са одређеном вероватноћом за играче, избегавање је увек равнотежна стратегија за барем једног играча у игри нулте суме. За било коју игру нулте суме са два играча у којој је нерешен резултат нула-нула немогућ или невероватан након што игра почне, као што је покер, не постоји стратегија Нешовог еквилибријума осим избегавања игре. Чак и ако постоји веродостојан нерешен резултат нула-нула након почетка игре нулте суме, то није боље од стратегије избегавања. У том смислу, занимљиво је открити да ће награда-како-идеш (енгл. reward-as-you-go) у израчунавању оптималног избора превладати над свим играма нулте суме са два играча у погледу тога да ли започети игру или не.Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. . Chapter 4.

Најчешћи или најједноставнији пример из подобласти социјалне психологије је концепт „друштвених замки”. У неким случајевима тежња ка индивидуалном личном интересу може побољшати колективно благостање групе, али у другим ситуацијама, све стране које следе лични интерес доводе до међусобно деструктивног понашања.

Коуплендов преглед напомиње да се игра са n играча која није нулте суме може претворити у игру са (n+1) играча нулте суме, где (n+1)-ви играч, означен као фиктивни играч, прима негативну вредност збира добитака осталих n играча (глобални добитак/губитак).Arthur H. Copeland (7. 1945) Book review, Theory of games and economic behavior. By John von Neumann and Oskar Morgenstern (1944). Review published in the Bulletin of the American Mathematical Society 51(7) pp 498–504 (7. 1945)

Игре нулте суме са три особе десно|526x526px|Игра нулте суме са три особе Јасно је да постоје вишеструки односи између играча у игри нулте суме са три особе; у игри нулте суме са две особе, све што један играч добије, други нужно губи и обрнуто; стога увек постоји апсолутни антагонизам интереса, а то је слично и у игри са три особе. Претпоставља се да би одређени потез играча у игри нулте суме са три особе био јасно користан за њега, а могао би бити штетан за оба друга играча, или користан за једног, а штетан за другог противника. Конкретно, паралелизам интереса између два играча чини сарадњу пожељном; може се десити да играч има избор између различитих политика: ступити у интересни паралелизам са другим играчем прилагођавањем свог понашања, или супротно; да може да бира са којим од друга два играча више воли да гради такав паралелизам и у којој мери. Слика приказује типичан пример игре нулте суме са три особе. Ако Играч 1 изабере одбрану, а Играч 2 и 3 изаберу напад, обојица ће добити по један поен. Истовремено, Играч 1 ће изгубити два поена јер му поене одузимају други играчи, и евидентно је да Играчи 2 и 3 имају паралелизам интереса.

Пример из стварног живота

Економске користи нискотарифних авио-компанија на засићеним тржиштима - нето користи или игра нулте суме Извор:

Студије показују да је улазак нискотарифних авио-компанија на тржиште Хонгконга донео 671 милион долара прихода и резултирао одливом од 294 милиона долара.

Стога треба узети у обзир ефекат замене приликом увођења новог модела, што ће довести до економског цурења и убризгавања. Тако увођење нових модела захтева опрез. На пример, ако је број нових авио-компанија које полазе са аеродрома и долазе на њега исти, економски допринос граду домаћину може бити игра нулте суме. Јер за Хонгконг, потрошња прекоморских туриста у Хонгконгу представља приход, док потрошња становника Хонгконга у другим градовима представља одлив. Поред тога, увођење нових авио-компанија такође може имати негативан утицај на постојеће авио-компаније.

Следоватељно, када се уводи нови модел авијације, тестови изводљивости морају се спровести у свим аспектима, узимајући у обзир економски прилив и одлив и ефекте премештања узроковане моделом.

Игре нулте суме на финансијским тржиштима Трговина дериватима може се сматрати игром нулте суме, јер сваки долар који добије једна страна у трансакцији друга мора да изгуби, чиме се добија нето трансфер богатства од нуле.