Кристална база за репрезентацију квантне групе на -векторском простору није база тог векторског простора, већ пре -база од где је -решетка у том векторском простору. Кристалне базе су се појавиле у радовима Масакија Кашиваре и Џорџа Лустига. Оне се могу посматрати као специјализације када канонске базе коју је дефинисао Лустиг.

Дефиниција

Као последица њених дефинишућих релација, квантна група се може сматрати Хопфовом алгебром над пољем свих рационалних функција са неодређеном q над , што се означава са .

За прости корен и ненегативан цео број , дефинише се:

У интеграбилном модулу , и за тежину , вектор (тј. вектор у са тежином ) може се јединствено разложити у суме

где је , , само ако је , и само ако је .

Линеарна пресликавања могу се дефинисати на као:

Нека је интегрални домен свих рационалних функција у које су регуларне за (тј. рационална функција је елемент из ако и само ако постоје полиноми и у прстену полинома такви да је и ).

Кристална база за је уређени пар , такав да:

је слободни -подмодул од такав да је је -база векторског простора над и , где је и и и

Да би се ово изложило на неформалнији начин, дејства и су углавном сингуларна за на интеграбилном модулу . Линеарна пресликавања и на модулу се уводе тако да дејства и постану регуларна за на модулу. Постоји -база тежинских вектора за , у односу на коју су дејства и регуларна за за свако i. Модул се затим ограничава на слободни -модул генерисан овом базом, а базични вектори, -подмодул и дејства и се вреднују за . Штавише, база се може изабрати тако да за и за свако , и буду представљени као међусобно транспоновани, и да пресликавају базичне векторе у базичне векторе или у 0.

Кристална база може бити представљена усмереним графом са означеним гранама. Сваки чвор графа представља елемент -базе од , а усмерена грана, означена са i, и усмерена од чвора ка чвору , означава да је (и, еквивалентно, да је ), где је елемент базе представљен са , а елемент базе представљен са . Овај граф у потпуности одређује дејства и за . Ако интеграбилни модул има кристалну базу, онда је модул иредуцибилан ако и само ако је граф који представља кристалну базу повезан (граф се назива „повезаним” ако се скуп чворова не може разделити на унију нетривијалних дисјунктних подскупова и таквих да не постоје гране које спајају било који чвор у са било којим чвором у ).

За било који интеграбилни модул са кристалном базом, тежински спектар кристалне базе исти је као и тежински спектар модула, па је стога тежински спектар кристалне базе исти као тежински спектар одговарајућег модула припадајуће Кац-Мудијеве алгебре. Вишеструкости тежина у кристалној бази су такође исте као њихове вишеструкости у одговарајућем модулу припадајуће Кац-Мудијеве алгебре.

Кашиварина теорема тврди да сваки интеграбилни модул највеће тежине има кристалну базу. Слично томе, сваки интеграбилни модул најмање тежине има кристалну базу.

Тензорски производи кристалних база

Нека је интеграбилни модул са кристалном базом и интеграбилни модул са кристалном базом . За кристалне базе усваја се копроизвод , дат са:

Интеграбилни модул има кристалну базу , где је . За вектор базе , дефинише се:

Дејства и на дата су са:

Декомпозиција производа два интеграбилна модула највеће тежине на иредуцибилне подмодуле одређена је декомпозицијом графа кристалне базе на његове компоненте повезаности (тј. одређују се највеће тежине подмодула, као и вишеструкост сваке највеће тежине).

Референце

Литература

Спољашње везе

Категорија:Лијеве алгебре Категорија:Теорија репрезентација Категорија:Квантне групе