En harmonisk funktion är en funktion som uppfyller Laplaces ekvation.
Definition Låt f : Rn → R, och låt U vara en öppen delmängd av Rn. f är harmonisk på U om f är två gånger kontinuerligt deriverbar på U och
i varje punkt i U. Ekvationen ovan kallas Laplaces ekvation och skrivs ofta eller
Koppling till analytiska funktioner Följande sats visar att real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion är harmoniska.
Sats 1.
Låt f(z) = u(x,y) + iv(x,y) vara analytisk på en öppen mängd U. Då är funktionerna u(x,y) och v(x,y) harmoniska på U.
Bevis.
Eftersom real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion har kontinuerliga partiella andraderivator så gäller att
Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer får vi
vilket visar att v är harmonisk på U. Att även u är det visas analogt.
Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer kan vi också, givet en harmonisk funktion u(x,y) finna en annan harmonisk funktion v(x,y) sådan att u(x,y) + iv(x,y) är analytisk. v är här ett så kallat harmoniskt konjugat av u.
Exempel Exempel på harmoniska funktioner:
Egenskaper Medelvärdesegenskapen Låt f: U → R vara kontinuerlig på en öppen mängd U C. Antag att det för varje i U gäller att
för något Om det gäller att
för varje så är f harmonisk.
Maximum och minimum Låt U vara en begränsad enkelt sammanhängande och öppen mängd med rand D. Om f är harmonisk på U och kontinuerlig på U och D så antar f sitt maximum och minimum på D.
Liouvilles sats Om f är harmonisk och uppåt eller nedåt begränsad på Rn är f konstant.
Kommentarer Harmoniska funktioner är mycket viktiga inom matematisk fysik. Exempelvis kan vi låta u(x,y,z) beteckna den elektrostatiska potentialen som orsakas av laddningar i rummet. Då är u harmonisk på de områden i rummet där laddningstätheten är 0. Andra fysikaliska exempel då harmoniska funktioner uppkommer är tvådimensionella vätskeflödesproblem och jämviktstemperaturproblem.
Se även Potentialteori
Källor E.B. Saff, A.D. Snider. Fundamentals of complex analysis. Third edition. A. Persson, L-C Böiers. Analys i flera variabler. Weisstein, Eric W. "Mean-Value Property." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueProperty.html