Lerchs transcendent är en speciell funktion som generaliserar Hurwitzs zetafunktion och många andra kända funktioner. Funktionen är uppkallad efter Matyáš Lerch. Dess definition är
Integralrepresentationer
En integralrepresentation för Lerchs transcendent ges av
då
En annan integralrepresentation ges av
då
Specialfall
Hurwitzs zetafunktion är ett specialfall:
Polylogaritmen är också ett specialfall:
Legendres chifunktion ges av
Riemanns zetafunktion ges av
Dirichlets etafunktion ges av
Andra specialfall ges av
Flera kända konstanter kan skrivas med hjälp av Lerchs trascendent:
där är Catalans konstant, är Glaisher–Kinkelins konstant och är Apérys konstant.
Identiteter
Lerchs transcendent satisfierar ett stort antal identiteter, såsom
och
och
Serierepresentationer
Då Re(z)<1/2 kan Lerchs transcendent skrivas som
(Notera att är en binomialkoefficient.)
Om s är ett positivt heltal är
då är digammafunktionen.
En Taylorserie i tredje variabeln ges av
där är Pochhammersymbolen.
En serie med ofullständiga gammafunktionen är
Källor
. (See § 1.11, "The function Ψ(z,s,v)", p. 27) . (se kapitel 9.55) . * . . .
Kategori:Zeta- och L-funktioner