Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion. Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz. Då Re(s) > 1 och Re(q) > 0 är dess definition
Serierepresentation En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠ 1 av Helmut Hasse år 1930:
Taylorserie Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är
Laurentserie Laurentserien för är:
där är Stieltjeskonstanterna:
Fourierserie
Integralrepresentationer
Då och kan Hurwitzs zetafunktion skrivas som
En annan integral är
som gäller för .
Hurwitzs formel
Hurwitzs formel är teoremet
där
är en representation som gäller för and s > 1. Här är polylogaritmen.
Funktionalekvation För alla och gäller
Speciella värden
G är Catalans konstant.
Relation till andra funktioner
Bernoullipolynomen
Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt
Jacobis thetafunktion Om är Jacobis thetafunktion är
Specialfall och generaliseringar
Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen:
För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen:
Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion.
En annan generalisering är Lerchs transcendent:
Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen
där
samt Meijers G-funktion
Referenser
Kategori:Zeta- och L-funktioner