Dirichlets betafunktion är en speciell funktion som är nära relaterad till Riemanns zetafunktion.
Definition Dirichlets betafunktion definieras som
En ekvivalent definition är
I båda fallen antas det att Re(s) > 0.
Dirichlets betafunktion kan definieras för alla komplexa s med hjälp av Hurwitzs zetafunktion:
En annan definition med hjälp av Lerchs transcendent är:
som också göller för alla komplexa s.
Produktrepresentation Dirichlets betafunktion kan skrivas som en oändlig produkt för alla komplexa vars reella del är större än 1:
Funktionalekvation Med hjälp av funktionalekvationen för Dirichlets betafunktion kan den definieras för Re(s)<0. Ekvationen ges av
där Γ(s) är gammafunktionen.
Speciella värden Några speciella värden är:
där G är Catalans konstant;
där i exemplet ovan är polygammafunktionen. Mer allmänt gäller det för alla positiva heltal k:
där är Eulertalen. För heltal k ≥ 0 gäller
Derivata En formel för derivatan av Dirichlets betafunktion för är
Speciella värden är:
För alla positiva heltal gäller formeln:
Övriga formler En dubbelintegral för Dirichlets betafunktion är
Referenser
Kategori:Zeta- och L-funktioner