Primtalsfunktionen är en viktig funktion inom talteori som definieras som antalet primtal mindre eller lika stora som ett tal x. Denna funktion betecknas vanligtvis som π(x) (utan någon koppling till talet π).
Historia
På 1700-talet upptäckte Gauss och Legendre att
är en bra approximation för primtalsfunktionen; mer specifikt,
Det här är känt som primtalssatsen; den bevisades i slutet av 1800-talet. Feltermen i approximationen har undersökts mycket och ett starkt resultat säger att
där li(x) betecknar den logaritmiska integralfunktionen
Tabell av π(x), x / ln x och li(x)
Tabellen visar de tre funktionerna π(x), x / ln x och li(x) vid potenser av 10. Se även och. {| class="wikitable" style="text-align: right" ! x ! π(x) ! π(x) − x / ln x ! li(x) − π(x) ! x / π(x) |- | 10 | 4 | −0.3 | 2.2 | 2.500 |- | 102 | 25 | 3.3 | 5.1 | 4.000 |- | 103 | 168 | 23 | 10 | 5.952 |- | 104 | 1,229 | 143 | 17 | 8.137 |- | 105 | 9,592 | 906 | 38 | 10.425 |- | 106 | 78,498 | 6,116 | 130 | 12.740 |- | 107 | 664,579 | 44,158 | 339 | 15.047 |- | 108 | 5,761,455 | 332,774 | 754 | 17.357 |- | 109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1,701 | 19.667 |- | 1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 3,104 | 21.975 |- | 1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 11,588 | 24.283 |- | 1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 38,263 | 26.590 |- | 1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 108,971 | 28.896 |- | 1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 314,890 | 31.202 |- | 1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1,052,619 | 33.507 |- | 1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,393 | 3,214,632 | 35.812 |- | 1017 | 2,623,557,157,654,233 | 68,883,734,693,281 | 7,956,589 | 38.116 |- | 1018 | 24,739,954,287,740,860 | 612,483,070,893,536 | 21,949,555 | 40.420 |- | 1019 | 234,057,667,276,344,607 | 5,481,624,169,369,960 | 99,877,775 | 42.725 |- | 1020 | 2,220,819,602,560,918,840 | 49,347,193,044,659,701 | 222,744,644 | 45.028 |- | 1021 | 21,127,269,486,018,731,928 | 446,579,871,578,168,707 | 597,394,254 | 47.332 |- | 1022 | 201,467,286,689,315,906,290 | 4,060,704,006,019,620,994 | 1,932,355,208 | 49.636 |- | 1023 | 1,925,320,391,606,803,968,923 | 37,083,513,766,578,631,309 | 7,250,186,216 | 51.939 |- | 1024 | 18,435,599,767,349,200,867,866 | 339,996,354,713,708,049,069 | 17,146,907,278 | 54.243 |- | 1025 | 176,846,309,399,143,769,411,680 | 3,128,516,637,843,038,351,228 | 55,160,980,939 | 56.546
I Nätuppslagsverket över heltalsföljder är π(x) följden , π(x) - x / ln x är följden och li(x) − π(x) är följden. Värdet på π(1024) räknades ursprungligen av J. Buethe, J. Franke, A. Jost och T. Kleinjung under antagandet av Riemannhypotesen. Den har sedan dess kontrollerats oberoende av Riemannhypotesen av D. J. Platt.
Olikheter för x ≥ 17.
Olikheten till vänster gäller för x ≥ 17 och olikheten till höger för x > 1.
för n ≥ 6.
En olikhet av Pierre Dusart är
Första olikheten gäller för alla x ≥ 599 och andra för alla x ≥ 355991.
Littlewoods sats 1914 bevisade John Littlewood att det finns godtyckligt stora värden på x för vilka
och godtyckligt stora värden på x för vilka
Av det följer att differensen π(x) − Li(x) byter tecken oändligt ofta.
Riemannhypotesen
Riemannhypotesen är ekvivalent med att
Källor
Kategori:Aritmetiska funktioner Kategori:Analytisk talteori