Polygammafunktionen av ordning m är en meromorf funktion definierad i och definieras som den (m+1):sta derivatan av gammafunktionens logaritm:
Specialfallen m=0 och m=1 kallas digammafunktionen och trigammafunktionen.
Integralrepresentation Polygammafunktionen kan skrivas som integralen
för Re z >0 och m > 0. Då m=0, det vill säga då det är fråga om digammafunktionen, gäller integralrepresentationen
.
Serierepresentationer Polygammafunktionen kan skrivas som den oändliga serien
för m > 0 och alla komplexa z som inte är negativa heltal. Med hjälp av Hurwitzs zetafunktion kan serien skrivas kortare som
En annan serie kan fås på följande vis. Eftersom
fås genom logaritmering
och slutligen
där är Kroneckers delta.
Taylorserie Taylorserien vid z = 1 är
och
som konvergerar för |z| < 1. ζ är Riemanns zetafunktion. Serien kan lätt bevisas med hjälp av Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion.
Differensekvation Polygammafunktionen satisfierar differensekvationen
Reflektionsformel
Polygammafunktionen satisfierar reflektionsformeln
Multiplikationsteorem Multiplikationsteoremet för polygammafunktionen är
och
Speciella värden
Generalisering En generalisering av polygammafunktionen för och är
Den satisfierar differensekvationen
där är Eulers konstant.
Multiplikationsformeln är
Källor
Externa länkar
Kategori:Gamma- och relaterade funktioner