__INGENINNEHÅLLSFÖRTECKNING__
Ordning Primtalsfaktorisering Antal delare av 1 1 1 2 2 2 3 4 3 4 6 4 5 12 6 6 24 8 7 36 9 8 48 10 9 60 12 10 120 16 11 180 18 12 240 20 13 360 24 14 720 30 15 840 32 16 1260 36 17 1680 40 18 2520 48 19 5040 60 20 7560 64 21 10080 72 22 15120 80 23 20160 84 24 25200 90 25 27720 96 26 45360 100 Inom matematiken är ett mycket sammansatt tal ett positivt heltal med fler delare än något lägre positivt heltal.
De första tjugosex mycket sammansatta talen listas i tabellen till höger.
Följden av mycket sammansatta tal är en delmängd av följden av minsta tal k med exakt n delare .
Det finns ett oändligt antal mycket sammansatta tal. För att bevisa detta faktum, antag att n är ett godtyckligt mycket sammansatt tal. 2n har alltid fler delare än n (alla delare till n, n självt och 2n självt är delare till 2n) och något tal större än n men mindre än 2n är också ett mycket sammansatt tal.
Grovt räknat, för att ett tal ska kunna vara ett mycket sammansatt tal måste det ha så små primtalsfaktorer som möjligt, men inte alltför många av samma sort. Om vi bryter ner ett tal n i primtalsfaktorerna så här:
där är primtal och exponenterna är positiva heltal så är antalet delare för n exakt
Därför, för n sig vara ett mycket sammansatt tal, gäller det att
k givet primtal pi måste vara just de k första primtalen (2, 3, 5, …); om inte, kan vi ersätta ett av de givna primtalen med ett mindre primtal, och på så sätt få ett mindre tal än n med samma delarantal (exempelvis kan 10 = 2 × 5 ersättas med 6 = 2 × 3; men båda har fyra delare); Följden av exponenter ska inte vara ökande, det är ; annars skulle vi genom att byta två exponenter återigen få ett mindre tal n med samma delarantal som n (exempelvis kan 18 = 21 × 32 ersättas med 12 = 22 × 31; båda har sex delare).
Dessutom (utom i två specialfall, nämligen n = 4 och n = 36) måste den sista exponenten ck vara lika med 1. Att säga att följden av exponenterna är icke-ökande är ekvivalent med att säga att ett mycket sammansatt tal är en produkt av primfakulteter. Eftersom primtalsfaktoriseringen av ett mycket sammansatt tal använder alla de k första primtalen är alla mycket sammansatta tal även praktiska tal..
Mycket sammansatta tal högre än 6 är även ymniga tal. Man behöver bara titta på de tre eller fyra högsta delarna av ett visst mycket sammansatt tal för att konstatera detta faktum. Det är falskt att alla mycket sammansatta tal även är Harshadtal i basen 10. Det första mycket sammansatta tal som inte är Harshadtal är 245044800, som har siffersumman 27, men 245044800 är inte jämnt delbart med 27.
Många mycket sammansatta tal används i historiska måttsystem, och används vanligtvis i ritningar, på grund av deras enkla användning med bråk.
Om Q(x) betecknar antalet mycket sammansatta tal mindre än eller lika med x så finns det två konstanter a och b, som båda är större än 1, sådana att
Den första parten av olikheten bevisades av Paul Erdős år 1944 och den andra parten bevisades av Jean-Louis Nicolas år 1988. Vi harSándor et al (2006) p.45
och
Exempel {| class="wikitable" style="text-align:center;table-layout:fixed;" |- |colspan="6"| Det mycket sammansatta talet 10 080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 × 7 Enligt (2) ovan har 10080 exakt 72 delare. |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|1×10080 |style="line-height:1.4"| 2 × 5040 |style="line-height:1.4"| 3 × 3360 |style="line-height:1.4"| 4 × 2520 |style="line-height:1.4"| 5 × 2016 |style="line-height:1.4"| 6 × 1680 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|7× 1440 |style="line-height:1.4"| 8 × 1260 |style="line-height:1.4"| 9 × 1120 |style="line-height:1.4"| 10 × 1008 |style="line-height:1.4"| 12 × 840 |style="line-height:1.4"| 14 × 720 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|15× 672 |style="line-height:1.4"| 16 × 630 |style="line-height:1.4"| 18 × 560 |style="line-height:1.4"| 20 × 504 |style="line-height:1.4"| 21 × 480 |style="line-height:1.4"| 24 × 420 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|28× 360 |style="line-height:1.4"| 30 × 336 |style="line-height:1.4"| 32 × 315 |style="line-height:1.4"| 35 × 288 |style="line-height:1.4"| 36 × 280 |style="line-height:1.4"| 40 × 252 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|42× 240 |style="line-height:1.4"| 45 × 224 |style="line-height:1.4"| 48 × 210 |style="line-height:1.4"| 56 × 180 |style="line-height:1.4"| 60 × 168 |style="line-height:1.4"| 63 × 160 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|70× 144 |style="line-height:1.4"| 72 × 140 |style="line-height:1.4"| 80 × 126 |style="line-height:1.4"| 84 × 120 |style="line-height:1.4"| 90 × 112 |style="line-height:1.4"| 96 × 105 |- |colspan="6"|Anm: Tal i fetstil är mycket sammansatta tal' själva. Endast den tjugonde mycket sammansatta talet 7560 (= 3 × 2520) är frånvarande.10080 är ett så kallat 7-slätt tal . |} Det 15 000:e mycket sammansatta talet finns på Achim Flammenkamps officiella webbplats. Det är en produkt av 230 primtal:
där är följden av på varandra följande primtal, och alla utelämnade termer (a22 till a''228) är faktorer med exponenter lika med 1 (det vill säga talet är )..
Primtalsfaktor-delmängder För alla mycket sammansatt tal, om man tar någon delmängd av primtalsfaktorerna för detta tal och deras exponenter, kommer det resulterande talet ha fler delare än något mindre tal som använder samma primtalsfaktorer. Till exempel, för det mycket sammansatta talet 720 = 24 × 32 × 5, kan det säkerställas att
144 = 24 × 32 har fler delare än något mindre tal som bara har primtalsfaktorerna 2 och 3 80 = 24 × 5 har fler delare än något mindre tal som har bara primtalsfaktorerna 2 och 5 45 = 32 × 5 har fler delare än något mindre tal som har bara primtalsfaktorerna 3 och 5
Om detta var sant för något särskilt mycket sammansatt tal och delmängd av primtalsfaktorer, kan vi ersätta den mängden primtalsfaktorer och exponenter för det mindre talet med samma primtalsfaktorer och få ett mindre tal med minst lika många delare.
Denna egenskap är användbar för att hitta mycket sammansatta tal.
Se även Ymnigt tal Tabell över delare Eulers fi-funktion
Källor
Externa länkar
Algoritm för att beräkna mycket sammansatta tal De första 10 000 mycket sammansatta talen Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors Online-kalkylator för mycket sammansatta tal
Kategori:Heltalsmängder Kategori:Förmodanden inom talteori