Inom talteori är Linniks sats ett resultat om primtal i aritmetiska följder. Satsen säger att det finns positiva konstanter c och L så att om vi betecknar med p(a,d) det minsta primtalet i den aritmetiska följden
där n går över alla positiva heltal och a och d är godtyckliga relativt prima positiva heltal med 1 ≤ a ≤ d - 1, är:
Satsen är uppkallad efter Jurij Linnik, som bevisade den 1944.Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139-178Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347-368 Även om Linniks bevis visade att c och L är effektivt beräknelig, gav han inga numeriska värden åt dem.
Egenskaper
Det är känt att L ≤ 2 för nästan alla heltal d.E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.
Under antagande av generaliserade Riemannhypothsen kan man bevisa att
där är Eulers fi-funktion.
Man har även förmodat att
Gränser för L Konstanten L kallas för Linniks konstant. Följande tabell visar framstegen som har gjorts i problemet att hitta övre gränser för den.
L ≤ Publikationsår Författare 10000 1957 PanPan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311-313 5448 1958 Pan 777 1965 ChenChen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868-1871 630 1971 Jutila 550 1970 JutilaJutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp. 168 1977 ChenChen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529-562 80 1977 JutilaJutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45-62 36 1977 GrahamApplications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977 20 1981 GrahamGraham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163-179 (överlämnat före Chens publikation från 1979) 17 1979 ChenChen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859-889 16 1986 Wang 13.5 1989 Chen and LiuChen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654-673Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792-807 8 1990 WangWang On the least prime in an arithmetical progression. Acta Mathematica Sinica, New Series 1991 Vol. 7 No. 3 pp. 279-288 5.5 1992 Heath-BrownHeath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265-338 5.2 2009 XylourisTriantafyllos Xylouris, On Linnik's constant (2009). 5 2011 XylourisTriantafyllos Xylouris, Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression (2011). Dr. rer. nat. dissertation.
I Heath-Browns resultat är konstanten c effektivt räknebar.
Referenser
Noter
Kategori:Satser inom analytisk talteori Kategori:Satser om primtal