Inom matematiken är en involution eller självinvers funktion, en bijektiv funktion som är sin egen invers: , eller alternativt .
Exempel Reella tal Involutioner är, utöver den identiska avbildningen f(x) = x, avbildningarna
och
eftersom för alla och för alla . Komplexa tal Komplexkonjugering av ett tal är en involution: där avbildas vid komplexkojugering på talet:
Vid ytterligare en komplexkonjugering fås
Involutioner i gruppteori Ett element a i en grupp G kallas en involution om a2 = e, där e är gruppens neutrala element. Om alla a, som tillhör G är involutioner, så är gruppen abelsk. En grupp vars alla element är involutioner är Kleins fyrgrupp.
Om G är en abelsk grupp, så är avbildningen
en involution och en gruppautomorfi. Om G inte är abelsk, så är denna avbildning en involution, men inte en gruppautomorfi.
Generellt är varje inre automorfi på en grupp G en involution.
Linjär algebra En matris A kallas involutiv om A2 = I, där I är enhetsmatrisen. En involutiv matris kan i det två- och tredimensionella rummet konkret tolkas som en spegling av rummets punkter i en linje respektive i ett plan. Det finns ett enkelt samband mellan involutiva och idempotenta avbildningsmatriser. Om B är idempotent, så är A = 2B - I involutiv. B kan tolkas som en projektion. Exempel:
I det tvådimensionella rummet är en projektion på x-axeln och en spegling av rummets punkter i samma axel.
Andra involutiva matriser är Paulis spinnmatriser.
Källor I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham 1964. B. L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg 1950. Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986. David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison-Wesley, New York 1996.
Kategori:Abstrakt algebra Kategori:Funktioner