miniatyr|Lista över alla de 31 (= 25 - 1) kända geometriskt konstruerbara regelbundna polygonerna med udda antal hörn i rött (och därutöver de med jämna antal under 1000 i svart). En regelbunden -hörning (232 - 1) är den polygon som har det största kända udda antalet hörn (eller sidor) som är konstruerbar med passare och rätskiva. Talet är nämligen produkten av alla de fem kända Fermatprimtalen F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 och F4 = .

Eftersom Gauss visade att det endast är regelbundna polygoner med antal hörn som är produkter av olika fermatprimtal och/eller heltalspotenser av två som är geometriskt konstruerbara är produkten av de fem kända udda Fermatprimtalen verkligen det största antalet udda hörn som en konstruerbar regelbunden polygon, såvitt känt, kan ha.Falko Lorenz, 2006, Algebra: Volume I: Fields and Galois Theory, sid. 105. Edward A. Bender, S. Gill Williamson, 2005, A Short Course in Discrete Mathematics, sid. 43. .John Horton Conway, Richard Guy, 1998, The Book of Numbers, sid. 140. . Det sjätte Fermattalet F5 = 232+1 =  är inte ett primtal, eftersom 641 ·  = . Likaså är Fn ett sammansatt tal för , och det finns en förmodan om att detta också gäller alla större värden på n.

Konstruktionen av en -hörning är enkel i teorin, men såklart helt ogenomförbar i praktiken. Man börjar med en cirkel och konstruerar en inskriven liksidig triangel. Man konstruerar sedan regelbundna inskrivna femhörningar utgående från de tre triangelhörnen (se pentagon för en beskrivning av förfarandet) och erhåller härvid en regelbunden femtonhörning (vars hörn är de fem hörnen i vardera av de tre femhörningarna). Utgående från dessa femton hörn konstruerar men femton sjuttonhörningar och får därvid en regelbunden 255-hörning från de femton sjuttonhörningarnas hörn. Från de 255 hörnen konstruerar man 255 stycken 257-hörningar, vilket ger en regelbunden -hörning och utgående från dess hörn konstruerar men sedan -hörningar så att man får en .

Om en regelbunden 4 294 967 295-hörning skulle skapas med ekvatorn som omskriven cirkel skulle varje sida ha längden:

Förklaringar och anmärkningar

Referenser

Externa länkar Talföljd A045544 på OEIS.

Kategori:Polygoner