En LF-fördelning (engelska linear fractional distributions) är en fördelning vars sannolikhetsgenererande funktion kan skrivas som kvoten mellan två linjära funktioner. En rationell funktion med linjära funktioner i täljare och nämnare ges avdär och är godtyckliga konstanter. En slumpvariabel sägs vara LF-fördelad med parametrarna om dess sannolikhetsgenererande funktion kan skrivas somNotera att fördelningen kan skrivas på formen av ett linjärt bråk då Det behövs dock endast två fria parametrar och eftersom är en genererande funktion med egenskaperna och . Tolkningen av LF-fördelningen är att det ger det totala antalet barn, där sannolikheten för det första barnet är och sannolikheten att få barn efter det första barnet är för varje barn. LF-fördelningar är användbara för att få den genererande funktionen på en enklare form, särskilt efter upprepad applikation av funktionen.
Koppling till geometrisk fördelning En slumpvariabel , fördelad efter den diskreta fördelningenhar ekvation som sannolikhetsgenererande funktion för . Då kan vi se att LF-fördelningen är nära besläktad med den geometriska fördelningen. Om så får vi attvilket är den sannolikhetsgenererande funktionen för den geometriska fördelningen. Så om så är . Dessutom, om får vivilket är den sannolikhetsgenererande funktionen för den skiftade geometriska fördelningen (benämnd för-första-gången-fördelning i artikeln om geometrisk fördelning). Vidare är och givet är fördelad enligt den skiftade geometriska fördelningen .
Användning i Galton-Watson-processen LF-fördelningen kan användas som reproduktionsfördelning i Galton-Watson-processen. Vi har från egenskaper av sannolikhetsgenererande funktioner att väntevärdet ges av .De tre fallen , och benämns de subkritiska, kritiska respektive superkritiska fallen för processen. I LF-fallet har vi då att i det subkritiska fallet, i det kritiska fallet och i det superkritiska fallet.
Upprepad applicering Om vi betraktar en kvot av två linjära funktioner är det tydligt att den har samma form även vid upprepad sammansättning eftersomDå LF-fördelningen kan skrivas som en kvot av två linjära funktioner gäller det att sammansättningen också är en LF-fördelning.
LF-fördelningen upprepad gånger kan alltså skrivas somFrån egenskaper av sannolikhetsgenererande funktioner och koppling till Galton-Watson-processen kan vi få ett uttryck av i bara . Parametrarna i kan uttryckas som där och är parametrarna i LF-fördelningen . I det kritiska fallet, då gäller specifiktDessa uttryck är användbara för analys av Galton-Watson-processen.
Referenser
Kategori:Sannolikhetsfördelningar