miniatyr| 400px|Figur 1. Triangeln (blå) och dess niopunkstcirkel (gul). betecknar ortocentrum, niopunktscirkelns medelpunkt. Höjderna markerade med orange linjer och de nio punkterna är röda. Den gröna triangeln har hörnen i mittpunkterna på sidorna av , medan den mörkröda triangeln har sina hörn i mittpunkterna på sträckorna , och . miniatyr|400px|Figur 1B: Niopunktscirkeln för en trubbvinklig triangel. miniatyr| 400px|Figur 2. Som figur 1, men vissa detaljer borttagna och några andra tillagda. De tre mittpunktsnormalerna till triangelsidorna markerade med violett. Dessa skär varandra i den omskrivna cirkelns medelpunkt . Eulerlinjen svart. miniatyr|400px|Figur 2B: Samma som figur 2, men för den trubbvinkliga triangeln i figur 1B. Niopunktscirkeln, även kallad Eulercirkeln eller Feuerbachs cirkel, är en cirkel på vars omkrets nio punkter som är specifika för en given triangel ligger. Dessa punkter kan delas in i tre grupper om tre och utgörs av (beteckningar enligt figur 1): 1: Mittpunkterna på triangelns sidor: , och 2: Fotpunkterna till höjderna på triangelsidorna från respektive motstående hörn: , och 3: Mittpunkten på de tre höjderna från respektive hörn till ortocentrum (höjdernas gemensamma skärningspunkt): , och
Om triangeln är rätvinklig, likbent eller liksidig sammanfaller vissa av de ovan angivna punkterna och i det "värsta fallet" (en likbent rätvinklig triangel) reduceras antalet till fyra separata punkter (det rätvinkliga hörnet och mittpunkterna på sidorna).
Niopunktscirkelns medelpunkt () ligger på Eulerlinjen, mitt mellan ortocentrum och medelpunkten i den omskrivna cirkeln till . Denna omskrivna cirkel har den dubbla radien mot niopunktscirkeln. Dessa två egenskaper gör att en linje från ortocentrum till en punkt på den omskrivna cirkeln delas i två lika delar av niopunktscirkeln (se avsnittet Niopunktscirkeln och den omskrivna cirkeln nedan).
Niopunktscirkeln är fotpunktscirkel till ortocentrum (eftersom , och ju är fotpunkter till ortocentrum) och till den omskrivna cirkelns medelpunkt (, och är ju dess fotpunkter).
De fyra trianglarna i ett ortocentriskt system delar niopunktscirkel och de fyra Eulerlinjerna till dessa trianglar skär varandra i niopunktscirkelns medelpunkt.
Niopunktscirkeln tangerar den inskrivna cirkeln (i Feuerbachpunkten) och de vidskrivna cirklarna till triangeln enligt Feuerbachs sats (figur 4).Eric W. Weisstein, Feuerbach's Theorem på Wolfram MathWorld.Feuerbach's theorem på MacTutor.
Bevis Av att de nio punkterna ligger på samma cirkel Se figur 1 och figur 1B. Texten gäller både spetsvinkliga och trubbvinkliga trianglar.
Först visas att , , och utgör hörnen i en rektangel: Eftersom är mittpunkt på och är mittpunkt på , så är och likformiga och alltså är parallell med (och hälften så lång). På motsvarande sätt är och likformiga och således är parallell med (och hälften så lång) och därmed även parallell med (och också lika lång som denna). Eftersom är mittpunkt på och är mittpunkt på så är parallell med . Och av motsvarande skäl är också parallell med , och därmed med . Då och bildar rät vinkel mot varandra så bildar även både och rät vinkel mot såväl som . Alltså är , , och hörnen i en rektangel. På samma sätt visas att även , , och är hörn i en rektangel, liksom , , och .
Rektangeln har diagonalerna och . Den första av dessa är även diagonal i , medan den andra är diagonal i . Dessa båda andra rektanglar har dessutom den gemensamma diagonalen . Eftersom skärningspunkten mellan de två liklånga diagonalerna i en rektangel delar diagonalerna på mitten, är avstånden från skärningspunkten () till hörnen lika och vi har således:
vilket innebär att de sex punkterna ligger på omkretsen av en cirkel med medelpunkt i och radien . Denna cirkel är "Eulers sexpunktscirkel".
Nu återstår det att visa att även höjdernas fotpunkter ligger på denna cirkel, vilket här görs för ( och visas på samma sätt): Betrakta den rätvinkliga i vilken är hypotenusa. är mittpunkt på denna hypotenusa och då Thales sats säger att den omskrivna cirkeln till en rätvinklig triangel har sin medelpunkt i mittpunkten på hypotenusan, följer omedelbart att , och ligger således på cirkeln. Beviset är härmed klart och de nio punkterna ligger således på en cirkel med medelpunkt i och radien
Eftersom , och så är ("mittpunktstriangeln", grön i figur 1) och (mörkröd) kongruenta och sammanfaller om den ena roteras 180° kring (alla hörnen ligger ju på niopunktscirkeln vars medelpunkt ligger i ). Denna röda triangel kallas Eulertriangeln och dess hörn Eulerpunkterna.Eric W. Weisstein, Euler Triangle på Wolfram MathWorld.
Av att niopunktscirkelns medelpunkt ligger på Eulerlinjen mitt mellan ortocentrum och den omskrivna cirkelns medelpunkt och......av att niopunktscirkelns radie är hälften av radien i triangelns omskrivna cirkel Se figur 2 och figur 2B.
De tre mittpunktsnormalerna till triangelsidorna i skär varandra i den omskrivna cirkelns medelpunkt () Den linje som går genom och kallas Eulerlinjen.
Börja med att betrakta trianglarna , och . Eftersom , och är mittpunkter på sidorna av är de dels inbördes kongruenta och dels likformiga med , men hälften så stora. Även den gröna mittpunktstriangeln är kongruent med de tre trianglarna (den har ju samma sidlängder som dessa). Notera nu att de tre mittpunktsnormalerna till är höjder ( är ju parallell med etcetera) i , varigenom är ortocentrum i . Eftersom skalan i är den dubbla mot i , så är .
Men är parallell med och eftersom är mittpunkt på och måste också vara mittpunkt på .Eftersom , och , måste den tredje sidan i de båda trianglarna och vara lika, det vill säga .
Niopunktscirkeln är den omskrivna cirkeln till och eftersom alla avstånd i är dubbelt så stora som i , följer direkt att även radien i den omskrivna cirkeln till är dubbelt så stor som niopunktscirkelns radie.
Särfall Rätvinklig olikbent triangel vänster|400pxEftersom vinkeln i är rät är kateterna även höjder och ortocentrum, , sammanfaller därför med , vilket gör att mittpunkten på också ligger i . Dessutom sammanfaller ju även höjdernas fotpunkter för och med – vi får alltså Eftersom och sammanfaller, så sammanfaller även mittpunkterna på och , det vill säga och av samma skäl får vi att . Dessa åtta punkter reduceras härvid till fyra, vilka ligger i hörnen på en rektangel. Att den nionde punkten, , ligger på samma cirkel som dessa andra fyra punkter, följer av Thales sats, eftersom vinkeln är rät och att cirkelns medelpunkt är mittpunkt på hypotenusan i .Niopunktscirkelns medelpunkt ligger såklart i skärningspunkten mellan kvadratens diagonaler och dess radie är . Eftersom triangeln är rätvinklig ligger den omskrivna cirkelns medelpunkt mitt på hypotenusan, det vill säga sammanfaller med , och således ligger niopunktscirkelns medelpunkt på Eulerlinjen mitt mellan ortocentrum och den omskrivna cirkelns medelpunkt. Den omskrivna cirkelns radie är lika med . Det vill säga att , vilket gör att niopunktscirkeln tangerar den omskrivna cirkeln (i det rätvinkliga hörnet ), vilket är en egenhet för rätvinkliga trianglars niopunktscirklar (se avsnittet Niopunktscirkeln och den omskrivna cirkeln nedan).
Likbenta trianglar Likbenta trianglar har gemensamt att mittpunkten, , på den oliklånga sidan (på en liksidig triangel gäller detta för alla sidor) sammanfaller med fotpunkten, , till det mot denna sida motstående hörnet. Trubbvinklig likbent triangel Rätvinklig likbent triangel Liksidig triangel Likbent triangel(toppvinkel > 90°)(toppvinkel = 90°)(toppvinkel = 60°)(toppvinkel < 60°)(toppvinkel ≪ 60°)vänster|290pxvänster|270pxvänster|240pxvänster|180pxvänster|115pxDet speciella med trubbvinkliga trianglar är att de flesta punkter ligger utanför triangeln. Speciellt ligger ortocentrum utanför dessa båda cirklar, vilket medför att niopunktscirkeln skär triangelns omskrivna cirkel – niopunktscirkeln går ju genom , som ligger på höjden från till , medan den omskrivna cirkeln går genom (detta gäller alla trubbvinkliga trianglar, inte bara likbenta sådana). Notera även att Eurlertriangeln och mittpunktstriangeln inte har några gemensamma punkter och att alla Eulerpunkter kommer i en obruten följd i förhållande till triangelsidornas mittpunkter på niopunktscirkeln.Samma resonemang som för den rätvinkliga olikbenta triangeln ovan (notera dock att triangeln vridits 135° och att beteckningarna flyttats), men med två skillnader. Dels gör de lika vinklarna i och att fotpunkten till höjden från på hypotenusan sammanfaller med dennas mittpunkt så att antalet separata punkter reduceras till fyra, och dels gör de liklånga kateterna att dessa fyra punkter bildar hörn i en kvadrat. Notera också att hypotenusan i Eulertriangeln sammanfaller med hypotenusan i mittpunktstriangeln.När toppvinkeln minskas kryper ortoccentrum inåt mot niopunktscirkelns centrum, vilket dels gör att och separeras från respektive , dels att följer efter ned längs höjden genom och dels att och kryper ner längs varsin (tidigare) katet. De fyra punkterna som definierar niopunktscirkeln ökar härvid återigen till åtta. Samtidigt kryper även den omskrivna cirkelns mittpunkt, , in i triangeln längs höjden genom , varvid kontakten med niopunktscirkeln släpper och denna kommer att helt ligga inom den omskrivna cirkeln. Tills...... toppvinkeln nått 60 då både och sammanfaller med niopunktscirkelns mittpunkt och och nått fram till respektive varvid två punkter "försvinner" och bara sex återstår. Dessa sex pukter är jämnt fördelade längs niopunktscirkelns omkrets, så att de utgör hörnen i en regelbunden sexhörning (och Eulertriangeln tillsammans med mittpunktstriangeln utgör ett regelbundet hexagram). De tre höjderna är nu dessutom bisektriser till de tre hörnvinklarna, vilket innebär att den inskrivna cirkelns centrum sammanfaller med niopunktscirkelns och eftersom de tre bisektrisernas skärningspunkter med triangelsidorna (i vilka den inskrivna cirkeln tangerar triangeln) sammanfaller med höjdernas fotpunkter på respektive sida, sammanfaller även den inskrivna cirkeln med niopunktscirkeln.När toppvinkeln minskas ytterligare separeras , och igen, men nu i motsatt ordning (så att nu kommer närmast toppvinkeln), vilket leder till att separeras från och att separeras från (men nu med mittpunkterna, inte fotpunkterna till höjderna, närmast toppen), så att antalet separata punkter återigen blir åtta.
Ju mindre toppvinkeln blir desto mer närmar sig den omskrivna triangelns medelpunkt mittpunkten på triangelns höjd genom (utan att nånsin nå dit) medan ortocentrum på samma sätt närmar sig "baslinjen" . , och "flockas" härvid kring den omskrivna cirkelns höjd, medan de övriga punkterna på niopunktscirkeln samlas kring ortocentrum. Niopunktscirkelns mittpunkt närmar sig alltmer att ligga en fjärdeldel av höjden genom upp från baslinjen .
Niopunktscirkeln och den omskrivna cirkeln miniatyr|500px|Figur 3. Niopunktscirklar (gula) och omskrivna cirklar (violetta) för, överst trubbvinklig och rät, samt därunder, spetsvinklig och liksidig triangel. Figur 3 visar de relativa lägena för niopunktscirkeln (gul) och den omskrivna cirkeln (violett) beroende på den största triangelvinkelns värde. Särskilt märks här att de båda cirklarna tangerar varandra om triangeln är rät och att de är koncentriska om triangeln är liksidig (se även avsnittet Särfall ovan). I figuren visas också läget av ortocentrum , niopunktscirkelns medelpunkt och den omskrivna cirkelns medelpunkt längs den svarta Eulerlinjen. I figuren har även en rät linje (grön) genom ortocentrum dragits, för vilken följande sats är tillämplig:
Sats Om en linje genom ortocentrum skär den omskrivna cirkeln, delas sträckan från ortocentrum till skärningspunkten i två lika delar av niopunktscirkeln. Bevis Vi kallar linjens skärningspunkt med niopunktscirkeln och med den omskrivna cirkeln för .