Inom matematik, Stiefelmångfalden är mängden av alla ortonormala k -ramar i Det vill säga, det är mängden av ordnade ortonormala k- tupler av vektorer i Den är uppkallad efter den schweiziske matematikern Eduard Stiefel . På samma sätt kan man definiera den komplexa Stiefelmångfalden. av ortonormala k -ramar i och den kvaternjoniska Stiefelmångfalden av ortonormala k -ramar i . Mer generellt gäller konstruktionen för alla reella, komplexa eller kvaternjoniska inre produktrum.
Topologi Låta stå för eller Stiefelmångfalden kan betraktas som en mängd av n × k matriser genom att skriva en k -ram som en matris av k kolumnvektorer i Ortonormalitetsvillkoret uttrycks av A * A = där A * betecknar den konjugerade transponeringen av A och betecknar k × k identitetsmatrisen. Vi har då
Topologin på är delrumstopologin som ärvs från Med denna topologi är en kompakt mångfald vars (reella) dimension ges av
Som ett homogent rum Varje Stiefelmångfald kan ses som ett homogent rum med en naturlig gruppverkan via standard matrismultiplikation.
Varje ortogonal transformation av en k -ram i resulterar i ytterligare en k -ram, och två k -ramar är relaterade genom någon ortogonal transformation. Med andra ord verkar den ortogonala gruppen O(n) transitivt på Stabilisatorundergruppen i en given ram är undergruppen som är isomorf med O(n − k) och som verkar icke-triviellt på det ortogonala komplementet till det rum som ramen spänner över.
Likaså verkar den unitära gruppen U(n) transitivt på med stabilisatorundergruppen U(n−k) och den symplektiska gruppen Sp(n) verkar transitivt på med stabilisatorundergruppen Sp(n−k).
I varje enskilt fall kan ses som en kvot av Liegrupper vilket karakteriserar varje homogena rum:
När k = n är motsvarande verkan fri så att Stiefel-mångfalden är ett principiellt homogent rum för motsvarande klassiska gruppen.
När k är strikt mindre än n, verkar den speciella ortogonala gruppen SO(n) också transitivt på med stabilisatorundergruppen isomorf till SO(n−k) så att
Detsamma gäller för den speciella unitära gruppens verkan på
Specialfall En 1-ram i är inget annat än en enhetsvektor, så Stiefel-mångfalden är bara enhetssfären i Därför:
Eftersom . Då gäller det:
Referenser
Kategori:Differentialtopologi