thumb|Exempel på begränsade funktioner: Röd: nedåt begränsad Blå: uppåt och nedåt begränsadGrön: uppåt begränsad
En begränsad funktion är inom matematiken en reell eller komplex funktion , definierad på någon mängd , sådan att mängden av :s funktionsvärden är en begränsad mängd. Med andra ord existerar det något tal M så att:
för alla i . Begränsade funktioner är av intresse vid beräkning av gränsvärden.
En reellvärd funktion sägs vara uppåt begränsad om det finns ett sådant att för alla i och att är nedåt begränsad om det finns ett sådant att för alla i .
Ett specialfall fås då är de naturliga talen, då funktionen blir en talföljd som sägs vara begränsad om det existerar något tal så att för alla naturliga tal .
En generalisering av begränsade funktioner ges inom metriska rum; om en funktion, definierad på någon mängd , antar värden i ett metriskt rum , är funktionen begränsad om det i existerar ett element sådant att för något är för alla i .
Exempel Funktionen sinus för de reella talen (dock inte för de komplexa) antar endast värden mellan -1 och 1 och är alltså nedåt begränsad av -1 och uppåt begränsad av 1. Funktionen
är definierad för alla reella som inte är -1 eller 1, är inte begränsad, eftersom funktionen växer obegränsat då går mot 1 eller -1. Om definitionsmängden tas att vara exempelvis intervallet är den dock begränsad. Varje kontinuerlig funktion från ett kompakt rum till ett metriskt rum är begränsad. Dirichlets funktion är begränsad.
Kategori:Matematisk analys