Carlemans olikhet är en matematisk olikhet namngiven efter Torsten Carleman, som var den förste att publicera olikheten 1923T. Carleman, Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196..
Låt vara en följd av icke-negativa reella tal. Då gäller det att
Konstanten i olikheten är den bästa möjliga; för mindre konstanter gäller inte olikheten. Om är positiva istället för icke-negativa är olikheten strikt.
Bevis Utgå från Hardys olikhet:
ta den inre summan i vänsterledet, ersätt med och skriv om på följande sätt:
Låt och skriv om exponenten som en derivata av den nya variabeln x, som här är noll:
Applicera nu då man får:
Betrakta nu högerledet i Hardys olikhet och utför samma steg, ersätt med och låt p gå mot oändligheten
detta ger oss den icke-strikta varianten av Carlemans olikhet:
Referenser
Kategori:Olikheter