Carathéodorys konstruktionen är en effektiv metod i måtteori för att konstruera Borels yttre mått i metriska rum som kallas yttre Carathéodorymåttet. Metoden uppkallat efter grekisk matematikern Constantin Carathéodory.
Carathéodorys idé var att använda den metriska strukturen så att vi täcka en mängd med vissa testmängder och "mäta" dem med ett testmått. Sedan definierar man måttet på samma sätt som Lebesguemåttet.
Definitioner Först behövs några definitioner för konstruktionen. Låt vara ett metriskt rum.
Mängden är en testmängdfamilj om det för varje finns mängder så att
och ,
för alla . är diametern för .
Låt vara en testmängdfamilij. Funktionen är ett testmått om det för varje finns en mängd så att
och .
Om , definierar man att en uppräknelig familj är en -övertäckning för mängden om
och
för alla .
Konstruktion Låt vara ett metriskt rum, en testmängdfamilij och ett testmått.
För och definierar vi
Eftersom är en testmängdfamilj finns det även en -övertäckning för X. Så att är en funktion
,
som kallas -Carathéodoryinnehållet.
Om och finns det mindre -övertackningar för , dvs funktionen är växande när . Därför existerar gränsvärden , dvs vi kan definiera gränsfunktionen
,
som kallas yttre Carathéodorymåttet.
Man kan visa att yttre Carathéodorymåttet är ett Borel yttre mått och om så är yttre Carathéodorymåttet ett Borelregelbundet yttre mått.
Exempel Carathéodorys konstruktion är en mycket effektiv metod, då man kan definiera många naturliga mått med det.
Yttre Hausdorffmått Huvudartikel: Hausdorffmått.
Det viktigaste exemplet är det s-dimensionella yttre Hausdorffmåttet. Konstrionen går till så att testmängderna är alla mängder och testmåttet är diametern upphöjat till s.
Mer precist, om och metriska rummet är separabelt, testmängdfamiljen är och testmåttet för så är -Carathéodoryinnehållet det s-dimensionella -Hausdorffinnehållet
och yttre Carathéodorymåttet det s-dimensionella yttre Hausdorffmåttet .
Yttre Lebesguemått Huvudartikel: Lebesguemått.
Andra exempel är det n-dimensionella yttre Lebesguemåttet som är -Carathéodoryinnehållet i . Vi konstruerar det så att alla n-intervall är testmängder och testmåttet är det geometriska måttet för n-intervall.
Mer precist, om och metriska rummet , testmängdfamiljen är (familjen av alla n-intervall) och testmåttet är geometriska måttet för så är -Carathéodoryinnehållet det n-dimensionella yttre Lebesguemåttet
Yttre Favardmått Huvudartikel: Favardmått.
Ett speciellt exempel för Carathéodorys konstruktion är att man kan konstruera Favardmåttet i med det. Vi konstruerar det så att alla Borelmängder är testmängder och testmåttet är en speciellt integralen definierad med hjälp av Grassmannmåttet.
Mer precist, om , , och metriska rummet , testmängdfamiljen är och testmåttet för är:
där
mängden är Grassmannmångfalden,
måttet är Grassmannmåttet,
funktionen är ortogonal projektionen över delrummet och
operatoren är väsentligt supremum med avseende på Grassmannmåttet .
Då är yttre Carathéodorymåttet det m-dimensionella yttre Favardmåttet med konstanten : .
Se även
Yttre mått
Referenser
A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover, New York, 1970
Kategori:Måtteori