Ett -rum är ett funktionsrum inom matematik. -rummet består av funktioner som är p-integrerbara. Man behöver -rummet till exempel inom måtteori och funktionalanalys.
Formell definition
-rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.
Låt och vara ett måttrum så att måttet µ är ett fullständigt mått. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.
För mätbara funktioner definierar man -normen
,
dvs -normen är en p-rot av måttintegralen för funktionen . För definieras -normen:
,
där ess sup är väsentligt supremum.
-normen, med , är inte en norm för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm. -rummet, för ett fixt p, är mängden:
.
-rummet är ett vektorrum. Eftersom man har definierat -rummet utifrån en måttstruktur så är -normen bara en seminorm, dvs
och
för och men det finns måttrum och funktioner där
men
gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med Borelalgebran som sigma-algebra och Lebesguemåttet som mått, då är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att -normen inte är en norm på detta rum.
För att få en riktig norm definierar man en ekvivalensrelation i genom att
om och endast om
och definiera -normen för ekvivalensklasser
där är ekvivalensklassen med representant f:
Kvotrummet med -normen kallas för -rummet. I rummet identifieras funktioner f och g vars skillnad f - g har en norm som är noll. Exempelvis, från exemplet ovan, identifieras med funktionen g = 0.
-rum
Som ett specialfall av -rum kan man få de så kallade -rummen. Om X är uppräknelig och måttet µ är räknemåttet betecknas
,
så att för
dvs, kan ses som alla följder i X så att summan av termerna upphöjt till p konvergerar.
Man får också:
dvs, -rummet är rummet av alla begränsade följder.
Egenskaper
Nedan finns några egenskaper för -rummen och normerna.
Olikheter
Hölders olikhet: om och med
,
och och så är
.
Om och så är
.
Talen p och q kallas för Hölderkonjugat.
Minkowskis olikhet: Man kallar ofta triangelolikheten
när för Minkowskis olikhet.
Dualrummet
Om p och q är Hölderkonjugat så är :s dualrummet isomorf till , dvs
.
Därför säger man ofta att :s dualrum är .
Notera att det finns måttrum där inte är isomorf med .
Se även
Lebesgueintegration Funktionalanalys Måtteori Fouriertransform Tb-sats
Referenser
W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991 P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950 M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953 R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, 2002 G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley, 1984 https://web.archive.org/web/20131111192546/https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2842/avaruude.pdf?sequence=1
Kategori:Måtteori Kategori:Funktionalanalys Kategori:Normerade rum