miniatyr|Vid varje punkt är derivatan av lutningen på en linje som är tangenten till kurvan. Linjen är alltid tangenten till den blåa kurvan. Derivatan är positiv när linjen är grön, negativ när den är röd och noll när den är svart.
En derivata är en funktion som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion.Weisstein, Eric W. "Derivative." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html Intuitivt kan en funktions derivata sägas beskriva hur mycket och i vilken riktning funktionens värde förändras då man rör sig från en given punkt. Exempelvis kan positionen för en bil i rörelse beskrivas som en funktion av tiden sedan bilen sattes i rörelse. Derivatan av denna funktion beskriver bilens hastighet (hur mycket läget för bilen förändras inom den närmaste framtiden) och derivatan av hastigheten är bilens acceleration (hur mycket hastigheten förändras).
Derivata är ett grundläggande begrepp inom matematisk analys. Den enklaste formen av derivata är derivatan av en reellvärd funktion av en reell oberoende variabel, där derivatan är den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras i den punkt som svarar mot den oberoende variabelns värde. Då förändringshastigheten hos en funktion inte måste vara konstant med avseende på den oberoende variabeln, är även derivatan en funktion av denna.
För en reellvärd funktion f av en variabel betecknas derivatan vanligen f ′, varför derivatan i punkten x följaktligen betecknas f ′(x) (uttalas "f prim av x"). Derivatan kan också betecknas df/dx (uttalas "df, dx").
Exempel Exempel 1 Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden h (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ändras per meter i höjdled (trycket avtar med höjden, vilket resulterar i en negativ ändring, det vill säga minskning). Derivatan får alltså enheten pascal per meter. Eftersom trycket avtar med höjden, blir derivatan negativ. Exempel 2 Låt f vara en konstant funktion definierad av f(x) = c. Då blir derivatan f ′(x) = 0 för alla x, eftersom funktionens värde inte ändras alls när x ändras.
Definition Derivatan av funktionen f i punkten x0 definieras som gränsvärdet ,
Om gränsvärdet existerar i en punkt x0 sägs funktionen vara deriverbar i punkten x0. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden sägs funktionen vara deriverbar. Om funktionen endast är deriverbar i vissa intervall, måste intervallen anges som villkor för deriverbarheten. Om derivatan av f är kontinuerlig sägs funktionen f vara kontinuerligt deriverbar.
Det finns även en omskrivning av gränsvärdet, vilken kan vara användbar vid bevisföring:
Exempel Derivatan av den konstanta funktionen är lika med noll eftersom den inte förändras då variabeln ändras. Detta kan visas med derivatans definition:
Geometrisk tolkning miniatyr|Derivatan är tangentens lutning i (x, f(x)). Om en funktion f åskådliggörs av en graf så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)). Tangentens lutning kan approximeras med sekantens lutning i ett litet område kring punkten x. Om sekanten går genom punkterna (x, f(x)) och (x+h, f(x+h)), där h är ett litet tal, blir dess lutning i detta intervall
Approximationen blir bättre ju mindre h väljs; om avståndet h mellan punkternas x-värden går mot noll, så kommer sekanten att övergå till tangenten vid x och lutningen kommer att gå mot derivatan f ′(x); härav derivatans definition.
Om en funktion är deriverbar i en punkt, så är den även kontinuerlig i denna punkt. Det motsatta förhållandet behöver inte gälla, vilket visas av bland annat Weierstrass exempel. Ett enklare exempel än Weierstrass ges av absolutbelopps-funktionen:
Denna är en kontinuerlig funktion som är deriverbar för varje tal x, med undantag av talet noll:
Funktionens derivata är odefinierad för talet noll. Däremot har funktionen en höger- och en vänsterderivata för talet noll: Högerderivatan i noll är 1 och vänsterderivatan i noll är -1. Om höger- och vänsterderivatan i en punkt existerar och har samma värde så existerar även derivatan i denna punkt.
Högre ordningars derivator Om man beräknar derivatan av en funktions derivata erhåller man en andra ordningens derivata, även kallad andraderivata. Beräknar man derivatan av denna får man tredjederivatan och så vidare. Om risk för förväxling föreligger kallas derivatan av ursprungsfunktionen förstaderivata.
Notation Som tidigare nämnts finns ett flertal olika notationer för derivata. Med undantag av Newtons notation innebär dessa vanligen ingen skillnad i natur. Olika områden inom matematiken har dock vanligen en notation som vanligen används.
Lagranges notation Den enklaste varianten som används är Joseph Louis Lagranges, nämligen primtecknet: för förstaderivata (uttalas "f prim av x") för andraderivata (uttalas "f bis av x") för tredjederivata (uttalas "tredje derivatan av x") för högre ordningens derivata, eller derivator av okänd ordning (som i exempelvis Taylorutvecklingar).
Leibniz notation Den andra typen av notation har fått sitt namn efter Gottfried Leibniz. Även om Leibniz notation kan tyckas något otymplig är den lämplig att använda bland annat vid tillämpning av kedjeregeln och vid lösning av differentialekvationer, på grund av dess tydliggörande av differentialerna.
För derivatan av en funktion skriver man för förstaderivatan och för andraderivatan. Om sammanhanget gör det lämpligare att använda f(x) i stället för y skriver man i stället för , f:s derivata.
För f:s derivata i en punkt a finns två notationer:
Ibland skrivs detta dock något slarvigt som
Högre ordningens derivator skrivs som i stället för
Newtons notation Isaac Newtons notation använder en punkt över funktionen för att beteckna derivata. Den används idag främst inom mekanik för att beteckna derivator med avseende på tiden, för att särskilja dessa från derivator med avseende på rummet. Den används vanligen endast för första och andra ordningens derivator: för förstaderivatan (uttalas "x prick") för andraderivatan (uttalas "x prick prick")
Då Leibniz notation är mer användarvänlig föredras vanligtvis denna framför Newtons notation
Eulers notation Leonhard Euler introducerade en notation baserad på en differentieringsoperator:
Med denna notation kan uttryck som anges, vilket kallas för halva derivatan av funktionen f och är ett exempel på bruten derivata.
Deriveringsregler Vid derivering är det oftast onödigt komplicerat att utgå från derivatans definition; istället har man utifrån definitionen härlett derivatorna till de elementära funktionerna och uttryck sammansatta av sådana. Dessa kan man utgå från vid problemlösning.
Många funktioner kan skrivas på endera av följande sätt: Som en summa av två funktioner, exempelvis som en produkt av två funktioner, exempelvis som en kvot av två funktioner, exempelvis som en sammansättning av två funktioner; så är exempelvis funktionen en sammansättning av funktionerna och (eftersom .
För att beräkna derivatorna av sådana funktioner använder man någon av följande regler.
Additionsregeln Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:
Produktregeln (Leibniz formel)
Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar och derivatan ges av
Produkten av två n gånger deriverbara funktioner är också n gånger deriverbar; den n:te derivatan ges av formeln (uppkallad efter den tyske matematikern Gottfried Wilhelm von Leibniz).
Anmärkning Jämför med Binomialsatsens utveckling av ett binom (a+b)n.
Om man formellt skriver och så kan Leibniz formel skrivas:
Deriveringsoperatorn D uppfyller tydligen sambandet
Linjäritet En konstant (c) kan flyttas ut ur deriveringen:
Bevis Tillämpa produktregeln på funktionen c ⋅ f, där c är ett fixt tal (det vill säga en konstant funktion), och då derivatan av en konstant funktion är noll:
Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln)
En sammansatt funktion f(g(x)) är en funktion f(x) som har en annan funktion g(x) som sitt argument, istället för en variabel som x. Detta kan även skrivas (f ∘ g)(x) för att förtydliga att g inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln x. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet kedjeregeln:
Ett tydligare sätt att framställa kedjeregeln är att använda Leibniz notation:
Exempel Funktionen är sammansatt av funktionerna och
Dess derivata kan beräknas med hjälp av kedjeregeln:
Av detta kan vi dra slutsatserna: Om talet x är negativt så är funktionen h växande (h′ > 0); om talet x är positivt är funktionen h avtagande (h′ < 0).
Inom sannolikhetsteori och statistik är denna funktion av stor betydelse då den utgör fördelningsfunktionen för normalfördelningen:
Dess betydelse härrör från den berömda Centrala gränsvärdessatsen.
Kvotregeln
I de punkter där funktionen g är nollskild och där den har en derivata, är derivatan av kvoten f/g funktionen
Bevis Börja med att beräkna derivatan av funktionen 1/g. Derivatan av en sammansatt funktion och vetskapen att derivatan av 1/x är -1/x2, ger att
Därmed kan produktregeln användas för att räkna ut derivatan av f(x)/g(x):
Derivata av invers Anta att är en funktion som är inverterbar och som har en derivata som är nollskild. Då är funktionens invers f-1 : V → M också deriverbar och dess derivata ges av
Exempel Funktionen med f(x) = x2, är inverterbar och dess invers är funktionen med f-1(y) = . Inversens derivata kan beräknas med formeln ovan.
De elementära funktionernas derivator Derivata av polynomfunktioner Polynomfunktion av grad ett Derivatan av funktionen f(x) = x är funktionen f′ = 1.
Eftersom differenskvoten alltid är lika med talet ett, kommer dess gränsvärde också att vara lika med talet ett:
Polynomfunktion av grad två Derivatan av polynomfunktionen f(x) = x2 kan beräknas genom att tillämpa konjugatregeln:
Först beräknas funktionens differenskvot för en godtycklig punkt x i funktionens definitionsmängd:
Då talet h närmar sig talet noll, närmar sig differenskvoten polynomfunktionens derivata f′(x) i punkten x:
Polynomfunktion av godtycklig grad Om talet ett skrivs som 1 = x0, syns ett mönster mellan funktionerna och deras derivator: Funktionen f(x) = x2 har derivatan ; funktionen f(x) = x1 har derivatan ; funktionen f(x) = x0 har derivatan . Vi kan därför misstänka att om n är ett positivt heltal så har funktionen f(x) = xn derivatan .
Vi vet att hypotesen stämmer för n = 0, 1 och 2. Med hjälp av produktregeln (se denna artikel) skall det visas att hypotesen är korrekt för samtliga heltal n.
Antag att vi vet att derivatan av funktionen är funktionen , där n är ett visst positivt heltal (exempelvis talet 2). Om vi skriver funktionen f(x) = xn som en produkt av funktionerna x och xn-1 innebär produktregeln att derivatan av funktionen xn är funktionen
Beräkningen visar att om vi vet derivatan av funktionen x2, så vet vi också derivatan av funktionen x3 och om vi vet derivatan av funktionen x3 så vet vi också derivatan av funktionen x4 och så vidare.
Elementära funktioner och deras derivator Derivator av exponential- och potensfunktioner
De trigonometriska och hyperboliska funktionerna påminner på flera sätt starkt om varandra, vilket även avspeglar sig i deras derivator: De trigonometriska funktionernaDe hyperboliska funktionernaFunktionDerivataFunktionDerivata
Funktioner utan derivata höger|miniatyr|Absolutbeloppsfunktionen. Heavisides stegfunktion, H(x), som har värdet 0 för negativa x och värdet 1 för positiva x är ett exempel på en funktion som inte har någon derivata i punkten x = 0. Heavisides stegfunktion är inte ens kontinuerlig i x = 0, då funktionen gör ett hopp i x = 0. Dock är funktionen kontinuerlig och deriverbar i alla andra punkter.