Den analytiska geometrin är en gren av geometrin där algebraiska metoder från främst linjär algebra används för att lösa geometriska problem. Att de reella talens algebra kan användas för lösning av geometriska problem vilar på Cantor-Dedekinds axiom.
Metoder från analytisk geometri används inom alla tillämpade vetenskaper, men särskilt inom fysiken, till exempel för beskrivningen av planeternas banor. Ursprungligen behandlade analytisk geometri endast frågor rörande planet och den rumsliga (euklidiska) geometrin. Mera allmänt beskriver den analytiska geometrin affina rum av godtyckliga dimensioner över godtyckliga kroppar.
Koordinatsystem
Grundläggande för analytisk geometri är begagnandet av ett koordinatsystem. Vanligen används ett kartesiskt koordinatsystem Percey Franklyn Smith, Arthur Sullivan Gale (1905)Introduction to Analytic Geometry, Athaeneum Press.
Analytisk geometri i R2
Koordinatsystem och transformationer Med (x, y) betecknas de ursprungliga koordinaterna och med (x', y') de nya.
Parallellförskjutning Om x0, y0 är koordinaterna för origo i det nya systemet, så gäller:
Rotation Om rotationsvinkeln räknas positiv (den vinkel som positiva x-axeln behöver vridas för att sammanfalla med positiva y-axeln) blir transformationsformlerna
Avståndet mellan två punkter Avståndet mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2) är
Arean av en triangel Om triangelns hörn har koordinaterna (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3), är dess area
För att T skall vara positiv, måste punkterna (x1,y1), (x2, y2) och (x3, y3) följa på varandra i positiv led, det vill säga moturs.
Delning av en sträcka Delas sträckan mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2), i förhållandet m/n blir delningspunktens koordinater
Vinkelkoefficienten för en rät linje Låt vara den vinkel en linje bildar med x-axeln. Om linjen går genom punkterna (x1, y1) och (x2,y2) blir vinkelkoefficienten
Räta linjens ekvation Räta linjens ekvation är en förstgradsekvation i x och y och den allmänna formen är
Varje ekvation av första graden representerar en linje.
betyder en rät linje parallell med y-axeln och
är en linje parallell med x-axeln.
är en linje genom origo.
k-formen Räta linjen kan skrivas på formen
om linjen ej är parallell med y-axeln, det vill säga B är nollskild. Här är k linjens vinkelkoefficient
och m y-koordinaten för linjens skärning med y-axeln.
Interceptformen Interceptformens parametrar är linjens skärningspunkter med x-axeln respektive y-axeln och skrivs
där a är x-koordinaten för linjens skärningspunkt med x-axeln och b är y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln eller
Normalformen
är normalformen för den räta linjen. och m bestäms ur
Kvadratrotens tecken väljs så att m blir positivt.
m är längden av normalen från origo till linjen och är denna normals vinkel med x-axeln.
Avståndet från en punkt till en rät linje Räta linjen skrivs på normalformen
Då är avståndet från punkten P med koordinaterna (x1,y1):
där tecknet + väljs om origo och P ligger på olika sidor om linjen.
Enpunktsformen Ekvationen för en rät linje genom punkten (x1, y1) med vinkelkoefficienten k är
Tvåpunktsformen Ekvationen för en rät linje genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) är
Vinkeln mellan två linjer Om linjernas vinkelkoefficienter är k1 respektive k2 bestäms vinkeln mellan linjerna av
Plana kurvor En kurva i ett ortogonalt koordinatsystem ger ett funktionssamband mellan koordinaterna x och y.
Kurvans ekvation kan vara i explicit form
i implicit form
eller i parameterform
I polära koordinater blir kurvans ekvation
eller
Tangenten
Vinkelkoefficienten för tangenten till en kurva i rätvinkliga koordinater är lika med funktionens derivata i tangeringspunkten:
Asymptoter Med en asymptot till en kurva menas en linje sådan att avståndet mellan linjen och en punkt på kurvan går mot noll då punkten går mot oändligheten.
Om en asymptot till kurvan y = f(x) har ekvationen y = kx + m, bestäms k och m enligt
Analytisk geometri i R3
Koordinatsystem Som koordinatsystem i R3 används tre plan, vanligtvis vinkelräta mot varandra. Planens skärningspunkter kallas x-, y- och z-axlarna. De tre planen betecknas efter ingående axlar som xy-planet, yz-planet och xz-planet William H. McCrea, Analytic Geometry of Three Dimensions Courier Dover Publications, Jan 27, 2012.
Rätvinkliga koordinater Riktningscosiner
En punkt P:s koordinater (x, y, z) är de vinkelräta avstånden till yz-, xz- och xy-planen. Om är vinklarna mellan ortsvektorn med längden r och axlarna är
där
är riktningscosinerna vilka betecknas a, b och c och för vilka gäller
Vinkeln mellan två riktningar Om två riktningar är givna, OA1 med riktningscosinerna a1, b1 och c1 och OA2 med riktningscosinerna a2, b2 och c2, så gäller för vinkeln mellan OA1 och OA2:
Rotation av koordinatsystem Vid övergång från ett rätvinkligt koordinatsystem (xyz) till ett annat (x'y'z''') med gemensamt origo men olika axelriktningar och med riktningscosinerna i xyz-planet betecknade för x-axeln med för y'''-axeln med för z-axeln med blir transformationformlerna
Avståndet mellan två punkter Avståndet d mellan punkterna (x1, y1, z1) och (x2, y2, z2) är
Om a, b och c är riktningscosinerna för en linje genom de båda punkterna, beräknas dessa som
Plan i R3
Om (x0, y0, z0) är en ortsvektor till en punkt i planet och (A, B, C) en normalvektor till planet, kan planets ekvation skrivas som skalärprodukten av normalvektorn och vektorn (x - x0, y - y0, z - z0):
vilket ger den allmänna formen av planets ekvation som
där D är
En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är
Tecknet framför roten väljs så att alltid är positiv. Därigenom är normalen riktad mot planets "positiva" sida.
Normalform Genom division med
erhålls planets ekvation på normalform
där är de vinklar som planets normal bildar med koordinataxlarna och p är längden av normalen från origo till planet.
Vektorform
Ekvationen för ett plan med normalvektorn n, en given punkt r0 och med r som ortsvektor för en godtycklig punkt (x, y, z) i planet är
Avståndet från en punkt till ett plan Punktens koordinater sätts in i planets normalform
och avståndet är då lika med vänsterledet med tecknet '-' om punkt och origo ligger på samma sida om planet, annars med tecknet '+'.
Exempel:
Beräkna avståndet från punkten (1, -3, 2) till planet
Planets ekvation i normalform
Vinkeln mellan två plan Vinkeln mellan planen
bestäms av ekvationen
Om planens normalvektorer är kända kan skalärprodukten av normalvektorerna användas för att bestämma vinkeln mellan planen:
Räta linjen
Räta linjen kan betraktas som skärningen mellan två plan och representeras av förstagradsekvationerna
En linje är bestämd av en punkt P = (x0, y0, z0) på linjen och en riktningsvektor u:
I parameterform gäller för en punkt (x, y, z) på linjen:
eller
där a, b och c är riktningskoefficienter, eller efter eliminering av parametern
I vektorform kan linjens ekvation skrivas
Kurvor i R3 En kurva i R3 kan framställas på flera sätt:
Som skärningen mellan två ytor:
I parameterform:
I vektorform:
Exempel:
Skruvlinjen kan framställas i parameterform som
Båglängd Längden av ett bågelement på kurvan är
Längden av kurvbågen mellan t0 och t är
Tangent Tangentens ekvation i vektorform är
Normalplanet
Ekvationen i vektorform för normalplanet i punkten s är
Oskulerande planet I en punkt på en kurva i R3 kan i allmänhet läggas oändligt många tangentplan till kurvan. Det tangentplan som närmast ansluter till kurvan kallas oskulerande planet och har ekvationen
där A, B och C bestäms ur formlerna
eller i vektorform
Principalnormal Den normal till kurvan som ligger i det oskulerande planet kallas principalnormal. Dess riktning är den samma som för vektorn
Längden av denna vektor benämns krökning K, varför vektorn också kallas krökningsvektor:
Krökningsradie Krökningsradien är krökningens inverterade värde:
Den punkt på principalnormalen som ligger på avståndet R från kurvan kallas krökningscentrum och kan i vektorform anges som
Ytor i R3 En yta i R3 kan skrivas i parameterform
eller i vektorform
Ekvationen kan också vara given på formen
eller
I det senare fallet kan x och y betraktas som parametrar, varvid ekvationen i parameterform blir:
Linjeelement
Tangentplanets ekvation Om ekvationen för ytan är
kan tangentplanets ekvation skrivas om tangeringspunkten är (x0, y0, z0):
eller i vektorform som
Ytnormalens ekvation Om ytans ekvation är
så gäller för ytnormalen i punkten (x0, y0, z0):
eller
Se även Cirkel Ellips (matematik) Hyperbel
Referenser
Externa länkar