Tal

höger|50px miniatyr|Delmängder till komplexa tal.

Tal är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck.

Ett tal är en abstrakt enhet som representerar ett antal eller ett mått. Inom matematiken är definitionen av tal vidare och inkluderar bland annat naturliga tal, heltal, negativa tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal med mera.

Aritmetik, "räknelära", behandlar räknande och innefattar grundläggande egenskaper hos tal, som hur de skrivs och hur de fungerar under addition, subtraktion, multiplikation och division; även andra räkneoperationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer tillhör aritmetiken. Algebra kan definieras som en utvidgning av aritmetiken och kan beskrivas som förhållanden, vilka uppkommer, när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal.

Talteori rör främst heltalens egenskaper, men har utvecklas till att bli en vedertagen teknik för att angripa problem även inom andra grenar av matematiken. Talteori kan uppdelas i flera områden beroende på metoderna som används och problemen som undersöks.

Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som Löste du talet?Svenska Akademiens ordlista, ”tal”, sid. 952. Internetversion , skriv in själv i sökrutan.

Typer av tal Tal brukar delas in i fem grundläggande grupper (mängder):

+ Grundläggande Naturliga tal 0, 1, 2, 3, 4, … eller 1, 2, 3, 4, … Heltal ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Rationella tal  där a och b är heltal och b inte är 0 Reella tal Gränsen för en konvergent följd av rationella tal Komplexa tal a + bi eller a + ib där a och b är reella tal och i är imaginära enheten

De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen.

(För olika metoder att uttrycka tal med symboler, såsom de Romerska siffrorna, se talsystem.)

Naturliga tal miniatyr|Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.

Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker.

Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt N i fetstil användas).

Mängden av de naturliga talen är diskret, uppräkneligt oändlig och har kardinalitet Alef-noll (ℵ₀).

Enligt den definition som görs i Matematikterminologi i skolan, utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker. Den infördes i samband med att de naturliga talen gavs en mängdteoretisk definition, enligt vilken de naturliga talen precis motsvarar kardinaltalen för ändliga mängder och 0 måste användas som kardinaltal för den tomma mängden.

En fördel med att inkludera 0 är att de naturliga talen då utgör en monoid under både addition och multiplikation. En nackdel är att man inom talteori måste göra undantag för 0 i samband med primtalsfaktorisering, då 0 inte kan primtalsfaktoriseras (1 kan faktoriseras som den tomma produkten).

För att undvika förvirring kan ℤ+ användas för att beteckna de positiva heltalen, och ℕ0 för de icke-negativa.

Heltal

Heltal innefattar talet noll (0) samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, och är därav unionen av mängden av de naturliga talen.

Mängden av heltalen betecknas ℤ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt Z i fetstil användas), från det tyska ordet Zahlen (som betyder "tal").

Mängden av heltalen är uppräknelig och har kardinaltalet Alef-noll.

Ibland definierar man delmängder av ℤ: ℤ+, ℤ* och ℤ–.

ℤ+ är {1, 2, 3, 4, 5, …} ℤ* är {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} ℤ– är {…, -5, -4, -3, -2, -1}

Beroende på definition kan endera ℤ+ eller ℤ* vara detsamma som mängden naturliga tal.

När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till flyttal (de reella talen) eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.

Rationella tal

Rationella tal är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:

där heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare.

Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt Q i fetstil används).

Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden bestående av alla lösningar (x) till ekvationer , där a och b är heltal och b inte är lika med noll.

Sedd som en delmängd av de reella talen utgör de rationella talen en tät mängd; detta innebär att det alltid finns fler rationella tal mellan två olika rationella tal, och att varje reellt tal kan approximeras godtyckligt väl med ett rationellt tal.

Mängden av de rationella talen är uppräknelig, vilket innebär att det i viss mening finns lika många rationella tal som det finns heltal. Detta kan tyckas vara motsägelsefullt, eftersom mängden av alla heltal är en äkta delmängd av ℚ; Detta följer av den första räkneregeln för bråktal som vi härledde ovan: a/1 = a där a är ett heltal.

Det faktum att man kan koppla samman varje rationellt tal med ett unikt heltal, och vice versa, gör att kardinaltalet för ℚ är lika med kardinaltalet för ℤ (mängden av alla heltal). På matematiskt språk säger man att det existerar en bijektiv avbildning mellan mängderna ℚ och ℤ.

Reella tal

Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen.

Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt R i fetstil användas).reella tal

Mängden av de reella talen är överuppräknelig och har kardinalitet 2ℵ₀, där ℵ₀ är antalet naturliga tal. Enligt kontinuumhypotesen är detta detsamma som ℵ₁ (Alef-ett).

De reella talen skrivs ofta som avkortade decimalutvecklingar, det vill säga som approximationer, till exempel 3,3333… och 1,4142… där uteslutningstecknet (…) indikerar att flera siffror följer för en mera precis bestämning av talet. De naturliga talen (ℕ) och heltalen (ℤ) är en delmängd av de reella talen där decimaldelen är noll.

De rationella talen (ℚ) är en delmängd av de reella talen, där decimalföljden efter ett tag börjar följa ett periodiskt mönster. Till exempel är 1/3 = 0,333…, 1/11 = 0,09090909…, 2/7 = 0,285714285714…, 95/14 = 6,7857142857142… och de kan skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare. Reella tal som inte är rationella kallas irrationella tal.

Exempel på reella tal är 0, 1 (naturliga), 1/2 (rationellt), (irrationellt, algebraiskt) och och (irrationella och transcendenta).

http://www.math.kth.se/~skjelnes/KURS/GYMNAS/10/Forelesning220311Gymnas.pdf

Komplexa tal miniatyr|höger|Det komplexa talplanet. Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im).

Komplexa tal kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten som definieras av

Om b ≠ 0 så är z ett icke reellt komplext tal (till exempel 2 + 4i), och om a = 0 kallas talet rent imaginärt (till exempel 4i).Weisstein, Eric W., "Complex Number" , MathWorld

Mängden av komplexa tal betecknas med ℂ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt C i fetstil användas).

Andra typer Det finns även andra delmängder av tal:

Negativa tal – Negativa tal är de tal som är mindre än 0, och skrivs med ett minustecken framför, till exempel −1. De tal som är större än 0 kallas positiva tal. Talet 0 självt är varken negativt eller positivt.The convention that zero is neither positive nor negative is not universal. For example, in the French convention, zero is considered to be both positive and negative. The French words positif and négatif mean the same as English "positive or zero" and "negative or zero" respectively. Mängden av alla negativa tal betecknas ibland Z−. Unionen av Z−, {0} och Z+ är lika med mängden av alla heltal (Z), och {Z−, {0}, Z+} sägs vara en partition av Z.Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag. .Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications.

Irrationella tal – Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Ett irrationellt tal är antingen ett algebraiskt tal eller ett transcendent tal. De irrationella talens kardinalitet är kontinuums mäktighet. Informellt uttryckt betyder det att nästan alla reella tal är irrationella.Adrien-Marie Legendre, Éléments de Géometrie, Note IV, (1802), ParisRolf Wallisser, "On Lambert's proof of the irrationality of π", in Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis, Franz Halter-Koch and Robert F. Tichy, (2000), Walter de Gruyer

Imaginära tal – Imaginära tal är tal vars kvadrat är ett negativt reellt tal., Chapter 2, p 38 Termen myntades av René Descartes på 1600-talet och syftar till att man då menade att sådana tal inte kan existera. Anledningen till att man införde begreppet är att det ofta finns behov av att räkna med en storhet som har två från varandra oberoende (ortogonala) egenskaper som kan representeras av ett komplext tal vilket består av en realdel och en imaginärdel. Med hjälp av komplexa tal kan man till exempel överföra förhållanden mellan strömstyrkor och spänningar i tidplanet till motsvarande fasskillnader. Imaginära enheten är det tal som är lika med kvadratroten ur −1.

Transcendenta tal – Transcendenta tal är (reella) tal som inte kan uttryckas algebraiskt, och kan därav inte definieras som ett nollställe till ett ändligt polynom med rationella koefficienter. Vissa transcendenta tal kan i stället definieras som ett gränsvärde. Talet pi är ett exempel på ett transcendent tal. Motsatsen är algebraiska tal. Däri ingår till exempel alla rationella tal, liksom alla rötter av rationella tal.David Hilbert, "Über die Transcendenz der Zahlen e und ", Mathematische Annalen 43:216–219 (1893).A. O. Gelfond, Transcendental and Algebraic Numbers, Dover reprint (1960).Peter M Higgins, "Number Story" Copernicus Books, 2008, .

Formell definition Man kan definiera de naturliga talen genom att först definiera talet noll (0) som den tomma mängden

och därefter successivt definiera de andra naturliga talen på följande sätt:

Ett annat sätt att definiera de naturliga talen är att imitera de ryska så kallade matrjosjkadockorna, där det inuti varje docka finns en mindre docka. Till skillnad från den ryska matrjosjkadockan, innehåller den matematiska matrjosjkadockan oändligt många dockor:

Bakom de tre punkterna som utgör ellipsissymbolen (…) i uppräkningen av de naturliga talen ligger den så kallade principen om matematisk induktion; I de två listorna ovan kan man se ett mönster i konstruktionerna av talen 0, 1, 2 och 3. Principen om matematisk induktion låter oss hävda att om vi fortsätter detta mönster i all oändlighet, så har vi lyckats konstruera de naturliga talen.