miniatyr|400px|Figur 1. Inversionscirkeln (röd) med medelpunkt i och radien . Punkten avbildas genom inversion i på punkten och vice versa. Punkten ligger på och avbildas på sig själv. Inversion i planet är, löst uttryckt, ett sätt att spegla geometriska objekt i en given cirkel, den så kallade inversioncirkeln. Inversion innebär alltså att man vänder objekt innanför cirkeln, så de hamnar utanför cirkeln och tvärtom. Objekt som ligger helt på inversionscirkeln, kommer att övergå i objekt som fortfarande ligger på inversionscirkeln.
Medan inversion (lokalt) bevarar vinklar, förvanskas dock längder och bland de få objekt som har enkla utseenden både före och efter inversion finns linjer (som övergår i linjer eller cirklar) och cirklar (som övergår i linjer eller cirklar). Därför kan inversiv geometri ses som en formalisering av den transparenta och intuitiva observationen att linjer kan betraktas som "cirklar med oändlig radie".
Grunden för inversion av geometriska objekt är inversion av punkter. Två punkter P och P' (se figur 1) är varandras inverser (inversioner) med avseende på cirkeln med medelpunkt i och radien om
Genom likformighet kan man till exempel visa vända-ut-och-in egenskapen samt att vinklar bevaras som nämndes ovan.
Genom att ersätta cirkeln med en sfär kan man utvidga begreppet till tre dimensioner. Stereografisk projektion är exempelvis en avbildning av jordklotet som en inversion i en sfär med sydpolen (eller annan punkt på jordytan) som medelpunkt och med jorddiametern som radie, varvid jordsfären inverteras till ett kartplan. På motsvarande sätt är Riemannsfären en inversion av det komplexa talplanet i en sfär, vilket gör att resultat och metoder från den komplexa analysen kan användas vid studier av inversioner.
Konstruktion miniatyr|400px|Figur 2 Som figur 1. Cirkeln har sträckan som diameter och medelpunkt i . Notera även att, då avbildas på och och avbildas på sig själva (de ligger ju båda på ) ligger inversionerna av dessa tre punkter (vilka alla ligger på ) på linjen . Beteckningar enligt figur 2.
Om en punkt (som i figur 1) ligger på inversionscirkeln avbildas den på sig själv ty , men annars finns det två möjligheter:
1. Punkten () ligger utanför , det vill säga : Konstruera cirkeln med som diameter. skär i punkterna och . Linjen är en normal till . är ju en korda (med mittpunkt i ) i både och och då mittpunktsnormalen till en korda går genom cirkelns medelpunkt sammanfaller mittpunktsnormalen till med (och ). Således är vinkeln rät. ligger på och eftersom är diameter i denna cirkel är vinkeln rät enligt Thales sats. Eftersom de båda rätvinkliga trianglarna och delar vinkeln är de likformiga, vilket ger:
och är således inversionen av i (och vice versa). 2. Punkten () ligger innanför , det vill säga : Konstruera ändpunktsnormalen till i . Denna skär i (även i ) och är således radie i . Dra tangenten till i och i skärningspunkten mellan denna tangent och förlängningen av ligger inversionen av i . Beviset för att så är fallet är i stort sett detsamma som ovan (de båda konstruktionerna ger ju identiska resultat vad punkter, linjer och cirklar beträffar med undantag för – att är rät följer i stället av att vinkeln mellan en radie till en punkt på en cirkel och tangenten till cirkeln i denna punkt är rät).
Ovan har således också visats att om är inversionen av i , så är inversionen av i . Inversion är således en involution (om betecknar inversionen av i till är alltså ).
Inversiv geometri Under avsnittet Konstruktion ovan har behandlats hur punkter avbildas vid inversion; nedan följer en beskrivning av vad som händer vid inversion av linjer och cirklar.
Inversionscirkeln är självinversiv Att inversionscirkeln är självinversiv är trivialt då varje punkt på densamma avbildas på sig själv. Räta linjer genom inversionscirkelns medelpunkt är självinversiva Också detta är trivialt då alla punkter, inversionscirkelns medelpunkt undantagen, avbildas antingen på sig själva (om de ligger på inversionscirkeln) eller på en annan punkt på linjen (i övriga fall). Cirklar med medelpunkt i inversionscirkelns medelpunkt avbildas på cirklar med medelpunkt i inversionscirkelns medelpunkt Att avbildningen av en cirkel med medelpunkt i avbildas på en cirkel som är koncentrisk visas enkelt genom att skärningspunkten mellan cirkeln och en rät linje genom avbildas på linjen i en punkt sådan att:
och då är längden på radien till varje punkt på den första cirkeln, så blir givetvis avbildningen en cirkel med medelpunkt i och radien .
Ortogonala cirklar är självinversiva i varandra miniatyr|300px|Figur 3. Figur 3 visar de två ortogonala cirklarna och . Att avbildas på sig själv vid inversion i visas enkelt med hjälp av (tangent-)sekantsatsen:
På samma sätt avbildas på sig själv vid inversion i , vilket visas av att exempelvis:
En cirkel genom inversionscirkelns medelpunkt avbildas på en rät linje som inte går genom inversionscirkelns medelpunkt, och vice versa
Ovan under Konstruktion, och med hjälp av figur 2, visades att på cirkeln avbildades på en rät linje ( i figur 4) genom punkterna och , också dessa på . Att även övriga punkter på avbildas på visas nedan.
I Figur 4 visas punkten på cirkeln (med diametern ) och en punkt på linjen som är normalen till i (avbildningen av vid inversion i ). De två rätvinkliga trianglarna ( är en diameter i och således gäller Thales sats) och delar vinkeln i (orangemarkerad) och är således likformiga, vilket ger:
och således är på linjen på avståndet avbildningen av vid inversion i .
Att punkten , som ligger på andra sidan jämfört med , avbildas i visas på samma sätt med hjälp av att de rätvinkliga trianglarna och delar vinkeln i (ljusblå) och därför är likformiga. Notera också att, då skärningspunkterna separerar på cirkeln , så separerar de även deras avbildning på linjen Det vill säga att (med och ) punkterna ligger i ordningen på och i ordningen på .
Figur 5 visar, liksom figur 4, (som skär ) och punkten som avbildas på punkten som ligger på , men därtill cirklarna (som är innesluten i ) och (som tangerar ). Att dessa cirklar avbildas på genom respektive genom visas på samma sätt som i fallet med vars avbildning är linjen nyss, ty: betecknar likformighet. eftersom de alla är rätvinkliga och dessutom delar vinkeln i (orange).
En cirkel med en diameter vars ena ändpunkt ligger i avbildas således på polarlinjen till den andra ändpunkten.
Att en rät linje som inte går genom avbildas på en cirkel som går genom är således trivialt, eftersom inversen till alla punkter på linjen ligger på samma cirkel genom .
Cirklar som inte går genom inversionscirkelns medelpunkt avbildas på cirklar Att cirklar som går genom inversionscirkelns medelpunkt avbildas på räta linjer (vilka förvisso, eftersom inversiv geometri är en form av projektiv geometri, kan ses som cirklar med medelpunkt i en punkt i oändligheten) behandlades ovan. Likaså har cirklar med centrum i inversionscirkelns medelpunkt () och cirklar som är ortogonala mot inversionscirkeln () behandlats ovan, eftersom det i dessa fall finns enklare bevis än det generella beviset som ges nedan (men de uppfyller även detta generella bevis). Att cirklar (med undantag för de som går genom ) avbildas på andra cirklar (eller på sig själv om cirkeln är ortogonal mot ) kan visas på lite olika sätt. Nedan följer bevis som utnyttjar potensen för punkten i förhållande till den cirkel () som avbildas genom inversion i (på cirkeln ). kan vara placerad inom , på eller utanför , vilket leder till något skilda bevisförfaranden. Det andra fallet är ju redan behandlat, men nedan föjer bevis för att i fallen ett och tre blir avbildningen av en cirkel. I det följande menas med potensens belopp, dess tecken beror av huruvida ligger inom (negativt) eller utom (positivt) . Även skalningsfaktorn (där betecknar inversionscirkelns radie) införs härmed.
Innan bevisen påbörjas, konstateras också att om avbildas på en cirkel vid inversion i måste de tre medelpunkterna i , i och i vara kollinjära.Eftersom en linje genom och delar i två lika halvor längs en diameter, måste också avbildningen av delas symmetriskt längs samma linje som således sammanfaller med en diameter i , varför , som ligger på varje diameter till , därför ligger på linjen genom och . Givet inför bevisen är en inversionscirkel med medelpunkt i och radien och en cirkel med medelpunkt i på avståndet från och som har radien vars avbildning vid inversion i söks.
O ligger utanför μ miniatyr|500px|Figur 6. miniatyr|300px|Figur 7.Sex par av cirklar vilka avbildas på varandra och en ortogonal cirkel (orange) som avbildas på sig själv vid inversion i (röd). De heldragna cirklarna omsluter inte och avbildas på heldragna cirkar av samma färg och som inte heller omsluter . De streckade cirklarna omsluter och avbildas på andra streckade cirkar av samma färg och som också omsluter . Gröna cirklar tangerar , de blå cirklarna skär Skälen till att de heldragna cirklarna skär i och medan de streckade gör det i och är rent praktiska – figuren hade blivit alldeles för gyttrig mellan och om även de streckade cirklarna skulle skära i dessa punkter. och de magentafärgade cirklarna gör ingetdera. De streckade magentafärgade cirklarna är därtill koncentriska med inversionscirkeln . Se figur 6. Om ligger utanför finns det två tangenter ( är den ena) till som går genom . Övriga strålar från skär antingen i två punkter (som strålen från genom och ) eller inte alls. Avbildningen av punkter på kommer att ligga på samma strålar som punkterna som avbildas (exempelvis och på samma stråle som och ) och inversionen av ligger således på "samma sida" om som själv.
Konstruera nu en cirkel med radien och vars medelpunkt ligger på strålen från genom på avståndet från . Dra sedan en godtycklig linje från som skär och kalla skärningspunkterna för och enligt figur 6. Denna linje skär i punkterna och . Och då , och är och således är . Men Se Potens (geometri). ger då:
och punkten på cirkeln är således avbildningen av den godtyckligt valda punkten på cirkeln vid inversion i .
För en tangeringspunkt gäller att eftersom och och således är (eftersom ): . och avbildas alltså på . Notera också att detta även visar att och inte är varandras avbildningar vid inversiom i då ju (eftersom är hypotenusan i den rätvinkliga i vilken är katet och därför är − och detsamma gäller ju även i ).
För punkterna och som båda ligger på linjen genom , och fås dock inga likformiga trianglar, men skapades ju med medelpunkten på avståndet och med radien som ju inte behöver räknas ut, vilket ger:
och således är på cirkeln avbildningen av på cirkeln vid inversion i .
Om tangerar kommer också att tangera i samma punkt () och om skär kommer också att skära i samma punkter (cirklarna kommer då att "överlappoa" varandra och exempelvis och kommer att "byta ordning" på strålen från så att ligger närmare än vad gör), men detta påverkar inte bevisen enligt ovan. Se figur 7.
Om man flyttar åt höger i figur 6, men bibehåller dess radie konstant, kommer att flyttas åt vänster och samtidigt kommer dess radie att minska. När de båda cirklarnas medelpunkter möts (vilket sker utanför ) kommer deras radier att vara lika och cirklarna sålunda att sammanfalla och därför vara ortogonala mot (Jämför figur 3 – där dock inversionscirkelns radie är betydligt mindre än i figur 6).
Att även avbildas på är trivialt, eftersom alla punkter på avbildas på punkter på vid inversion i vilka i sin tur avbildas på ursprungspunkten på vid ännu en inversion i Ett omständligare, men kanske fullständigare, sätt att visa detta är att i figur 6 byta ut beteckningarna som tillhör mot de beteckningar som avser motsvarande punkter och radier (samt cirklarna själva) mot motsvarande beteckningar för , och vice versa, varefter det som skrivits ovan i detta avsnitt återigen genomläses.
O ligger innanför μ miniatyr|300px|Figur 8.