Теорема Ліндемана — Веєрштрасса, яка узагальнює теорему Ліндемана, доводить трансцендентність великого класу чисел. Теорема стверджує таке:Якщо — різні алгебричні числа, лінійно незалежні над , то є алгебрично незалежними над , тобто, степінь трансцендентності розширення дорівнює Часто використовується еквівалентне формулювання. Chapter 1, Theorem 1.4.:Для будь-яких різних алгебричних чисел числа є лінійно незалежними над полем алгебричних чисел .
Історія 1882 року Ліндеман довів, що трансцендентне для будь-якого ненульового алгебричного , а 1885 року Карл Веєрштрасс довів загальніше твердження, наведене вище.
З теореми Ліндемана — Веєрштрасса легко випливає трансцендентність чисел e і π.
Доведення трансцендентності π Застосуємо метод доведення від супротивного. Припустимо, що число є алгебричним. Тоді число , де — уявна одиниця, також алгебричне, отже, за теоремою Ліндемана — Веєрштраса трансцендентне, проте, згідно з тотожністю Ейлера, воно дорівнює алгебричному числу , що викликає суперечність. Отже, число трансцендентне.
Примітки
Література