Восьмивимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з сімома уявними одиницями.
Множення Як чотиривимірні гіперкомплексні числа були визначені через двовимірні: введеням додаткової уявної одиниці : та прийняття добутків різних уявних одиниць новими уявними одиницями: .
Так і восьмивимірні можна задати рекурсивно через чотиривимірні: введеням додаткової уявної одиниці : , прийняття невідомих добутків новими уявними одиницями (якщо домножити зліва, то добутки будуть ).
Степенева асоціативність Щоб була хоча б одна з найслабших форм асоціативності — степенева асоціативність:
достатньо комутативності множення або степеневої асоціативності для уявної частини .
Другого легко досягти якщо: квадрати уявних одиниць є дійсними числами; добутки уявних одиниць антикомутують.
+октоніон / спліт-октоніон 1 i j k l il jl kl i −1 k −j il −l −kl jl j −k −1 i jl kl −l −il k j −i −1 kl −jl il −l l −il −jl −kl ∓1 ±i ±j ±k il l -kl jl ∓i ∓1 ∓k ±j jl kl l -il ∓j ±k ∓1 ∓i kl -jl il l ∓k ∓j ±i ∓1 Альтернативність Використавши також одну зі слабких форм асоціативності — альтернативність, заповнимо таблицю множення: Верхня ліва четверть заповнюється згідно з однією із чотиривимірних гіперкомплексних систем (показано кватерніон). Верхня права четверть заповнюється: зелене — новими одиницями , які є однойменними добутками; жовте — значеннями , які отримуються з властивості альтернативності, знаки співпадають з головною діагоналлю; червоне — добуток , який визначимо одним із правил Муфанг , щоб точно втратити асоціативність (але зберегти альтернативність); всі інші — обчислюємо використовуючи альтернативність.
Нижня ліва четверть заповнюється використовуючи альтернативність. Вона буде транспонованою верхньою правою, або буде протилежного знаку, окрім діагоналі. Нижня права четверть заповнюється використовуючи альтернативність. Вона буде складатись із .
Джерела