В алгебричній геометрії конус — узагальнення векторного розшарування. Зокрема, для даної схеми X, відносну Spec

квазікогерентної градуйованої R називають конусом або афінним конусом у R. Подібно, відносну Proj

називають проєктивним конусом у C або R.

Примітка: конус має -дію завдяки градуйованості R; ця дія є частиною даних конуса (звідки й назва).

Приклади

Якщо X = Spec k — точка і R — , то афінний конус у R є (зазвичай) афінним конусом над відповідним R проєктивним многовидом. Якщо для деякого пучка ідеалів I, то  — до замкнутої схеми, визначеної I. Якщо для деякого лінійного розшарування L, то  — повний простір у двоїстому до L. Загальніше, для даного векторного розшарування (локально вільний пучок скінченного рангу) E на X, якщо R=Sym(E*) — симетрична алгебра, згенерована для двоїстого до E, то конус є повним простором у E, який часто позначають просто E, а проєктивний конус є E, яке позначають . Нехай  — когерентний пучок на X, а Для будь-якого , оскільки глобальний Spec є правим сполученням з функтором прямого зображення, маємо: ; зокрема, є комутативною груповою схемою над X. Нехай R — градуйована -алгебра, така що і є когерентним і локально породжує R як -алгебру. Тоді існує замкнене вкладення

, задане . Тому називають абелевою оболонкою конуса Наприклад, якщо для деякого пучка ідеалів , то це вкладення є вкладенням нормального конуса в нормальне розшарування.

Обчислення Розглянемо ідеал повного перетину і нехай  — проєктивна схема, визначена пучком ідеалів . Тоді ми маємо ізоморфізм -алгебр, заданий як

Властивості Якщо  — градуйований гомоморфізм градуйованих OX-алгебр, то маємо індукований морфізм між конусами:

.

Якщо гомоморфізм сюр'єктивний, то виходять замкнені вкладення

Зокрема, припускаючи, що R0 = OX, побудову застосовують до проєкції (яка є ), що дає

.

Це перетин; тобто, є тотожністю і називається вкладенням нульового перетину.

Розглянемо градуйовану алгебру R[t] зі змінною t, що має степінь один: явно частина n-го степеня буде

.

Тоді її афінний конус позначають . Проєктивний конус називають проєктивним доповненням CR. Дійсно, t = 0 точно дорівнює , а доповненням є відкрита підсхема CR. Локус t = 0 називають гіперплощиною на нескінченності.

О(1) Нехай R — квазікогерентна градуйована OX-алгебра, така що R0 = OX і R — локально породжена R1 як OX-алгебра. Тоді, за визначенням, проєктивний конус R є:

де кограниця проходить через відкриті афінні підмножини U в X. За припущенням R(U) має скінченну кількість генераторів степеня один xi. Отже,

Тоді має лінійне розшарування O(1), задане з ; склеювання таких локальних O(1), які узгоджуються локально, дає лінійне розшарування O(1) у .

Для будь-якого цілого числа n позначення O(n) означає n-ий степінь тензора O(1). Якщо конус C =SpecXR є повним простором векторного лінійне розшарування E, то O (-1) є на P(E).

Примітка: коли (локальні) генератори R мають степінь, відмінний від одиниці, побудова O(1) все ще проходить, але зі замість проєктивного простору; тому отримане O(1) не обов'язково є лінійним розшаруванням. Мовою дивізорів це O(1) відповідає Q-дивізору Картьє.

Примітки

Література

§ 8 у