Зада́ча Ґурси́ — різновид крайової задачі для гіперболічних рівнянь і систем 2-го порядку з двома незалежними змінними за даними на двох характеристичних кривих, які виходять з однієї точки.

Історична довідка Задачу названо на честь математика Е. Ґурси. В його «Курсі математичного аналізу» їй присвячено окремий параграф.

Постановка задачі Нехай на ділянці задано гіперболічне рівняння та крайову умову.

Задача: знайти регулярний на ділянці і неперервний на замиканні розв'язок за крайовою умовою.

У «Математичній енциклопедії» крайову умову сформульовано так:

, де і  — задані неперервно диференційовні функції.

У підручнику Тихонова, Самарського її сформульовано дещо інакше:

, де і задовольняють умови спряження та диференційовності.

Легко бачити, що це задача з даними на характеристиках рівняння. Вона примітна тим, що для задання розв'язку достатньо двох функцій (порівн. з початково-крайовою задачею).

У «Курсі» Ґурси йдеться про загальніший випадок:

Розв'язання

Існування розв'язку Якщо функція неперервна для всіх і для будь-яких допускає похідні , які за абсолютною величиною менші від деякого числа, то в ділянці існує єдиний та стійкий розв'язок.

Метод Рімана Розглядають лінійний випадок. Початкове рівняння набуває вигляду .

Вводять функцію Рімана , яка однозначно визначається як розв'язок рівняння

,

що задовольняє умови

де  — довільна точка.

Розв'язок задачі Ґурси в лінійному випадку в «Енциклопедії» наведено при

Метод послідовних наближень Розглядають два випадки.

1.

Послідовно інтегруючи початкове рівняння, отримують аналітичну формулу

З неї випливає існування та єдиність розв'язку цієї задачі.

2.

Початкове рівняння перетворюють на інтегро-диференціальне рівняння

Це рівняння розв'язують методом послідовних наближень. Нульове наближення підставляють у інтегро-диференціальне рівняння. Результат приймають за перше наближення, яке в свою чергу підставляють у інтегро-диференціальне рівняння і т. д. Так виходить нескінченна послідовність . Далі доводять збіжність цієї послідовності і знаходять її границю . Ця границя і є розв'язком задачі.

Примітки