Теорема Рауса — Гурвіца — це критерій належності всіх коренів многочлена до лівої половини комплексної площини. Многочлени з такою властивістю називаються стабільними за Гурвіцем.
Це теорема важлива для динамічних систем в теорії керування, оскільки характеристичний многочлен стабільної лінійної системи диференціальних рівнянь має корені тільки в лівій півплощині (від'ємні власні значення).
Це теорема надає математичний тест стабільності системи, без знаходження розв'язків. Вона була доведена 1895 року і названа на честь Едварда Рауса та Адольфа Гурвіца.
Позначення Нехай многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня без коренів на уявній осі (тобто з нулевою дійсною частиною). А два дійсні многочлени та , такі що , є дійсною та комплексною частиною на уявній осі.
Також позначимо: кількість коренів в лівій півплощині (з урахуванням кратності); кількість коренів в правій півплощині (з урахуванням кратності); зміну аргумента коли змінюється від до ; кількість змін узагальненого ланцюга Штурма отриманого з та P_1(y) застосуванням алгоритму Евкліда; — індекс Коші раціональної функції вздовж дійсної осі.
Твердження Використовуючи ці позначення, теорема стверджує:
З першої рівності, наприклад, можна стверджувати, що коли зміна аргумента додатна, то матиме більше коренів зліва від уявної осі ніж справа.
Рівність є комплексним аналогом теореми Штурма. З тою різницею що: в теоремі Штурма зліва та — кількість змін в ланцюгу Штурма (коли в цій теоремі, — кількість змін в узагальненому ланцюгу Штурма).
Критерій стабільності Рауса — Гурвіца Використовуючи цю теорему, критерій стабільності є тривіальним: є стабільною за Гурвіцем тоді й лише тоді коли . Умовою на коефіцієнти буде та .
Див. також Критерій стійкості Гурвіца Критерій стійкості Рауса
Джерела