У топології зазвичай вимагають, щоб був гаусдорфовим топологічним простором. Цю аксіому можна послабити і вивчати негаусдорфові многовиди: простори, що є локально гомеоморфними евклідовому простору, але не обов'язково є гаусдорфовими.
Означення Нехай — топологічний простір, — відкрита підмножина. Гомеоморфізм , де — відкрита підмножина, називають картою на .
Набір карт такий, що , називають атласом на .
Пару , де — топологічний простір, — атлас на , називають локально евклідовим простором.
Якщо — гаусдорфовий топологічний простір, то називають многовидом, тому локально евклідовий простір називають негаусдорфовим многовидом.
Приклади Дійсна пряма з роздвоєним початком координатMunkres 2000, p. 227. Розглянемо фактор-простір , де ототожнює та , якщо . Фактор-простір гомеоморфний топологічному простору , де має топологію підростору з евклідовою топологією, а та мають локальну базу вигляду та , де — окіл 0 в , відповідно.
Тоді додані точки та мають окіл, гомеоморфний відкритій множині в і загалом , а отже і , є локально евклідовим простором. Кожний окіл перетинає кожний окіл , тому простір не є гаусдорфовим.
Дійсна пряма з багатьма початками координатLee 2011, Problem 4-22, p. 125. Можна узагальнити попередній приклад і розглянути фактор-простір , де ототожнює та для , якщо . Фактор-простір можна ототожнити з , де топологія задається аналогічно попередньому випадку.
Роздвоєна дійсна пряма Розглянемо фактор-простір , де ототожнює та , коли . Тоді будь-який околи кожної копії нуля в фактор-просторі перетинається один з одним, тому простір не є гаусдорфовим, але він є локально евклідовим.
Простір листів дійсної площини Кожний однозв'язний одновимірний (можливо, негаусдорфовий) многовид, що задовільняє другу аксіому зліченності, реалізується як простір листів якогось шарування .Haefliger, Reeb (1957), p. 125
Всюди роздвоєна дійсна прямаMathieu Baillif, Alexandre Gabard (2008) Розглянемо топологічний простір , де - відкрита тоді й лише тоді, коли є відкритою в і для кожної точки містить проколотий окіл в . Тоді локально евклідовий та не є гаусдорфовим.
Групоїд голономії та групоїд монодромії шарування Групоїдом ЛіMoerdijk, Mrcun (2003), p. 110 називають такий групоїд , де — гладкий гаусдорфовий многовид, — гладкий многовид (можливо, негаусдорфовий), — гладкі відображення — субмерсія така, що кожен її шар є компактним.
Для фіксованого гладкого многовиду з шаруванням групоїд монодромії та групоїд голономії Moerdijk, Mrcun (2003), p. 117 є групоїдами ЛіMoerdijk, Mrcun (2003), Proposition 5.6, p. 118, причому часто вони мають негаусдорфовий многовид стрілокHoyo, Garcia (2021), Examples 3.4-3.6. Тому такі групоїди є природнім джерелом негаусдорфових многовидів.
Етальний простірS. Mac Lane, I. Moerdijk (1994), p. 85. Розглянемо з евклідовою топологією і пучок дійснозначних неперервних функцій на . Етальний простір пучка є локально евклідовим, але не є гаусдорфовим. Для тотожної функції і такої, що для та для , маємо, що і мають різні паростки в околі , але мають однакові паростки в околі всіх для , тому будь-які околи цих паростків перетинаються.
Властивості Оскільки негаусдорфові многовиди локально гомеоморфні евклідовим прострам, то вони локально метризовні (хоча і можуть бути не метризовними загалом) і є локально гаусдорфовими (хоча можуть не бути гаусдорфовими загалом).
Дивись також
Аксіоми відокремлюваності
Література
English References Lee, John M. (2011). Introduction to topological manifolds (Second ed.). Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1. Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260. Baillif, Mathieu; Gabard, Alexandre (2008). "Manifolds: Hausdorffness versus homogeneity". Proceedings of the American Mathematical Society 136 (3): 1105--1111. https://arxiv.org/abs/math/0609098. DOI: [10.1090/S0002-9939-07-09100-9]. A. Haefliger et G. Reeb, Variétés (non séparées) à une dimension et structures feuilletées du plan, L'enseignement mathématique, t. III, 1957, 107-25. https://arxiv.org/abs/2208.11193 MacLane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994). Sheaves in Geometry and Logic. Springer. ISBN 978-1-4612-0927-0. DOI: [10.1007/978-1-4612-0927-0]. Moerdijk I, Mrcun J. Introduction to Foliations and Lie Groupoids. Cambridge University Press; 2003. Matias del Hoyo, Daniel Lopez Garcia (2021). On Hausdorff integrations of Lie algebroids, https://arxiv.org/abs/2003.14364.