Модель довжини змішування — метод у гідродинаміці, який намагається описати передачу імпульсу турбулентними рухами в межах пограничного шару ньютонівської рідини за допомогою вихорової в'язкості. Модель була розроблена Людвіґом Прандтлем на початку XX століття. Сам Прандтль мав застереження щодо моделі, описуючи її як «лише грубе наближення», але відтоді її використовують у багатьох галузях, включно з метеорологією, океанографією та структурою зір. Алі та Дей запропонували вдосконалення цієї моделі.
Фізична інтуїція Довжина змішування концептуально аналогічна поняттю середньої довжини вільного пробігу в термодинаміці: елемент рідини зберігає свої властивості на характерній довжині , перш ніж змішатися з навколишнім середовищем. Людвіґ Прандтль описав довжину змішування так:
На наведеному рисунку температура зберігається на певній відстані, поки елемент рухається вздовж температурного градієнта. Флуктуація температури, якої зазнає елемент у процесі руху, дорівнює . Отже, можна інтерпретувати як відхилення температури елемента від температури навколишнього середовища після проходження довжини змішування .
Математичне формулювання Спочатку слід подати фізичні величини як суму їхніх повільно змінних і флуктуаційних складових. Цей підхід відомий як . Температуру можна записати так:
де — повільно змінна складова, а — флуктуаційна складова.
На наведеному вище рисунку можна виразити через довжину змішування для елемента рідини, що рухається вздовж осі z:
Флуктуаційні складові швидкості , і також можна подати аналогічно:
Втім теоретичне обґрунтування цього наближення слабше, оскільки може істотно змінювати флуктуаційні складові. Крім того, для вертикальної швидкості це справджується лише в нейтрально стратифікованому середовищі.
Перемноживши горизонтальні та вертикальні флуктуації, отримуємо:
Турбулентну в'язкість визначають із цього рівняння як:
тобто турбулентна в'язкість виражена через довжину змішування .
Примітки