Рівняння Лейна-Емдена — безрозмірнісна форма рівняння Пуассона для гравітаційного потенціалу ньютонівської самогравітаційної, сферично симетричної, політропної рідини, широко використовувана в астрофізиці. Воно назване на честь астрофізиків та Роберта Емдена. Рівняння має такий вигляд:де є безрозмірнісним радіусом, а пов'язана з густиною формулою , де — центральна густина. Індекс — політропний індекс, який входить до політропного рівняння стану, де і — тиск і густина відповідно, а — константа пропорційності. Стандартні граничні умови такі: і . Таким чином, розв'язки описують хід тиску та густини з радіусом і відомі як політропи індексу . Якщо замість політропної рідини використовувати ізотермічну рідину (індекс політропи прагне до нескінченності), то отримуємо рівняння Емдена — Чандрасекара.
Застосування Гідростатична рівновага пов'язує градієнт потенціалу, густину та градієнт тиску, тоді як рівняння Пуассона пов'язує потенціал із густиною. Отже, якщо задати додаткове рівняння, що визначає, як пов'язані тиск і густина, можна отримати розв'язок системи рівнянь. Вибір політропного газу робить математичний запис задачі особливо компактним і приводить до рівняння Лейна — Емдена. Це рівняння є корисним наближенням для самогравітуючих газових або плазмених сфер, таких як зорі, однак лише коштом накладення досить жорстких обмежень на фізичну систему.
Виведення
Із гідростатичної рівноваги Розгляньмо самогравітуючу сферично-симетричну рідину в стані гідростатичної рівноваги. Маса зберігається й тому описується рівнянням неперервності,де є функцією від . Рівняння гідростатичної рівноваги має виглядде також є функцією від . Продиференціювавши ще раз, дістанемоде градієнта маси виражений з використанням рівняння неперервності. Помноживши обидві частини на і згрупувавши похідні від зліва, можна записати
Поділивши обидві частини на , отримуємо розмірну форму шуканого рівняння. Якщо, крім того, підставити політропне рівняння стану та , маємо
Зібравши сталі та підставивши , деотримуємо рівняння Лейна — Емдена,
Із рівняння Пуассона
Еквівалентно можна почати з Рівняння Пуассона,
Градієнт потенціалу можна замінити, використовуючи умову гідростатичної рівноваги:Це знову приводить до розмірнісної форми рівняння Лейна — Емдена.
Точні розв'язки Для заданого значення політропного індексу позначимо розв'язок рівняння Лейна — Емдена як . Щоб знайти у загальному випадку треба розв'язувати рівняння Лейна — Емдена чисельно. Точні аналітичні розв'язки існують для деяких значень , зокрема: . Для між 0 і 5 розв'язки є неперервними та скінченними за розміром; радіус зорі визначається як , де .
Для заданого розв'язку профіль густини має вигляд
Повну масу модельної зорі знаходять інтегруванням густини за радіусом від 0 до .
Тиск визначають із політропного рівняння стану , тобто
Нарешті, якщо газ є ідеальним, рівняння стану має вигляд , де — стала Больцмана, а — середня молекулярна маса. Тоді профіль температури задається як
У сферично-симетричних випадках рівняння Лейна — Емдена інтегрується лише для трьох значень політропного індексу .
Для n = 0 Якщо , рівняння набуває вигляду
Переписавши його та один раз проінтегрувавши, маємо
Поділивши обидві частини на і проінтегрувавши ще раз, отримуємо
Граничні умови та дають сталі інтегрування і . Отже,
Для n = 1 При рівняння можна записати у вигляді
Шукаємо розв'язок у вигляді степеневого ряду:
Це приводить до рекурентного співвідношення для коефіцієнтів розкладу:
Розв'язавши його, отримуємо загальний розв'язок:
Гранична умова для фізично допустимої політропи вимагає, щоб при . Звідси випливає, що , і маємо розв'язок:
Для n = 2 Цей точний розв'язок було знайдено випадково під час пошуку нульових значень рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова.
Розгляньмо розклад у ряд поблизу ,з початковими значеннями та . Підставивши це в рівняння Лейна — Емдена, можна показати, що всі непарні коефіцієнти ряду зникають: . Крім того, отримуємо рекурентне співвідношення між парними коефіцієнтами ряду.Доведено, що цей ряд збігається принаймні для , а чисельні результати показують добру узгодженість і для значно більших значень.
Для n = 5 Почнімо з рівняння Лейна — Емдена:
Переписавши його відносно , одержуємо:
Диференціювання за дає:
Після спрощення маємо:
Отже, рівняння Лейна — Емдена при має розв'язокЦей розв'язок має скінченну масу, але нескінченний радіус, тому повна політропа виявляється нефізичною. Субраманьян Чандрасекар тривалий час вважав, що знаходження інших розв'язків для «складне й пов'язане з еліптичними інтегралами».
Розв'язок Срівастави 1962 році Самбхунат Срівастава знайшов явний розв'язок для . Його розв'язок має вигляді з нього за допомогою гомологічного перетворення можна отримати сімейство розв'язків . Оскільки цей розв'язок не задовольняє умов у центрі (фактично він є осцилюючим із амплітудою, що необмежено зростає при наближенні до центру), його використовують у зоряних моделях як зовнішню частину складеного розв'язку.
Аналітичні розв'язки У застосуваннях головну роль відіграють аналітичні розв'язки, які можна подати у вигляді збіжних степеневих рядів, розкладених поблизу деякої початкової точки. Зазвичай точкою розкладу є , яка також є особливою (фіксованою особливою точкою) рівняння; при цьому задають початкове значення у центрі зорі. Можна довести, що рівняння має збіжний степеневий (аналітичний) розв'язок поблизу початку координат у формі
Радіус збіжності цього ряду обмежений через існування двох особливостей на уявній осі в комплексній площині. Ці особливості розташовані симетрично відносно початку координат. Їхнє положення змінюється зі зміною параметрів рівняння та початкової умови , тому їх називають згідно з класифікацією особливостей нелінійних звичайних диференціальних рівнянь у комплексній площині, запропонованою Полем Пенлеве. Подібна структура особливостей виникає і в інших нелінійних рівняннях, що з'являються при редукції оператора Лапласа у сферично-симетричному випадку, наприклад, у рівнянні ізотермічної сфери.
Аналітичні розв'язки можна продовжити вздовж дійсної прямої за допомогою аналітичного продовження, отримуючи повний профіль зорі або ядер молекулярних хмар. Два аналітичні розв'язки з перекриттям кіл збіжності можна узгодити на області перекриття, щоб отримати розв'язок на ширшій області; це поширений метод побудови профілів із заданими властивостями.
Розв'язок у вигляді ряду також застосовують для чисельного інтегрування рівняння. Його використовують, щоб трохи відсунути початкові дані для аналітичного розв'язку від початку координат, оскільки в самій точці початку координат чисельні методи не працюють через особливість рівняння.
Чисельні розв'язки У загальному випадку розв'язки рівняння знаходять чисельним інтегруванням. Багато стандартних методів вимагають подати задачу у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Наприклад,
Тут інтерпретують як безрозмірнісну масу, визначену рівнянням . Відповідні початкові умови: та . Перше рівняння виражає гідростатичну рівновагу, а друге — закон збереження маси.
Гомологічні змінні
Рівняння, інваріантне відносно гомології Відомо, що якщо є розв'язком рівняння Лейна — Емдена, то функція також є розв'язком. Розв'язки, пов'язані таким чином, називають гомологічними, а відповідне перетворення — гомологією. Якщо вибрати змінні, інваріантні щодо гомології, порядок рівняння Лейна — Емдена можна зменшити на одиницю.
Існує кілька варіантів таких змінних. Зручний вибір:та
Продиференціювавши логарифми цих змінних за , дістаємота
Поділивши ці два рівняння, усуваємо залежність від й отримуємо
Це вже одне диференціальне рівняння першого порядку.
Топологія рівняння, інваріантного відносно гомології
Рівняння, інваріантне щодо гомології, можна розглядати як автономну пару рівняньта
Поведінку розв'язків цих рівнянь визначають за допомогою аналізу лінійної стійкості. Критичні точки рівняння (де ) та власні значення і власні вектори матриці Якобі наведено нижче. Критична точка Власні значення Власні вектори
Примітки
Література
Посилання