Інтеграл вздовж траєкторій — математичний оператор, який використовується у Фейнмановому формулюванні квантової механіки.

Формальне визначення інтегралу вздовж траєкторій дається формулою ,

де , — множина всіх траєкторій, які сполучають початкову точку та кінцеву точку , m — маса квантової частинки, — зведена стала Планка.

Постулатом Фейманового формулювання квантової механіки є те, що пропагатор задається інтегралом вздовж траєкторій: ,

де — класична дія.

Якісна інтерпретація На відміну від звичайного інтеграла, в якому підсумовуються значення функції на відрізку, в інтегралі вздовж траєкторій підсумовуються значення функції вздовж усіх можливих кривих, які сполучають початкову й кінцеву точку. В рамках Фейнманового формулювання квантової механіки такий інтеграл визначає амплітуду ймовірності того, що квантова частинка переміститься з початкової точки в кінцеву.

Якщо в класичній механіці реалізується та з траєкторій, якій відповідає найменше значення дії, то в квантовій механіці свій вклад в ймовірність переходу частинки з однієї точки в іншу вносять усі можливі криві, які сполучають ці точки. Оскільки в квантовій механіці визначається не ймовірність переходу, а амплітуда ймовірності, то внески різних траєкторій інтерферують.

Інтеграл вздовж траєкторій у фазовому просторі Квантову механіку можна сформулювати через інтеграли вздовж траєкторій, використовуючи також канонічні змінні — координату та імпульс. Пропагатор частинки задається при такому підході через співвідношення: ,

де — функція Гамільтона.

Інтегрування проводиться вздовж усіх траєкторій у фазовому просторі із фіксованим значенням координати в початковій та кінцевій точках.

Статистична механіка В квантовій статистичній механіці зележна від температури матриця густини задовольняє рівнянню

,

де , — стала Больцмана.

Формальний розв'язок цього рівняння .

Статистична сума дорівнює сліду від матриці густини .

Вводячи умовний «час» , де — зведена стала Планка, і розбиваючи інтервал [0, U] на дрібні інтервали, можна записати ,

розглядаючи всі можливі траєкторії, якими система може переміститися з початкового стану при нескінченно високій температурі в кінцевий стан при температурі, що визначається значенням U.

Історія Формулювання квантової механіки через інтеграли вздовж траєкторій розробив у 1948 році Річард Фейнман.

Література