Модель SABR — це модель стохастичної волатильності у фінансовій математиці, призначена для відтворення так званої усмішки волатильності () на ринках похідних фінансових інструментів. Назва є абревіатурою від («стохастичні альфа, бета, ро») — за іменами основних параметрів моделі. SABR широко застосовують у фінансовій індустрії, особливо на ринках процентних деривативів. Модель запропонували Патрік С. Геґан, Діп Кумар, Ендрю Лесневскі та Діана Вудворд у 2002 році.
Модель описує динаміку одного форварда — наприклад, форвардної процентної ставки, форвардної своп-ставки чи форвардної ціни акції. Волатильність цього форварда сама є випадковим процесом, що дозволяє узгоджувати модель із ринковими цінами опціонів за різних цін виконання (страйків).
Динаміка моделі
SABR — це динамічна модель, у якій і форвард , і його миттєва волатильність є випадковими процесами. Їхня еволюція задається системою стохастичних диференціальних рівнянь:
де та — два корельовані вінерівські процеси, квадратична коваріація (взаємна варіація) яких дорівнює:
У кількісній фінансовій літературі це співвідношення часто записують у скороченому «диференціальному» вигляді .
Сталі параметри задовольняють умови , , та . Тут — початкове значення волатильності, що визначає рівень імпліцитної волатильності «при грошах»; — миттєва кореляція між базовим активом та його волатильністю, яка разом із задає нахил (скіс) усмішки; параметр називають волатильністю волатильності () — він керує кривизною усмішки.
Наведена динаміка є стохастичним узагальненням моделі сталої еластичності дисперсії (CEV) із показником : при модель SABR зводиться саме до моделі CEV із детермінованою волатильністю.
Асимптотична формула для імпліцитної волатильності
Розглянемо європейський опціон (наприклад, кол) на форвард зі страйком та строком до погашення років. Вартість опціону дорівнює належно дисконтованому математичному сподіванню виплати за ризик-нейтральною (мартингальною) мірою, що керує процесом .
За винятком окремих випадків та , аналітичного виразу в замкненій формі для цього розподілу не знайдено. Загальний випадок розв'язують наближено за допомогою асимптотичного розкладу за малим параметром. За типових ринкових умов цей параметр малий, тож наближення виявляється досить точним, має просту функціональну форму, легко реалізується програмно й добре підходить для управління ризиками великих портфелів опціонів у режимі реального часу.
Логнормальна (Блекова) волатильність
Розв'язок зручно виражати через імпліцитну (вмінену) волатильність опціону, прирівнюючи ціну за SABR до ціни за формулою моделі Блека. Тоді імпліцитна логнормальна волатильність наближено дорівнює:
де допоміжні величини:
Множник невизначений при (тобто при ). За правилом Лопіталя , тож ця сингулярність є усувною, і функцію довизначають одиницею за неперервністю.
Ян Облой (2008) виявив у початковій формулі Геґана невелику неточність для випадку , здатну спричиняти арбітраж, і запропонував скориговану («доточнену») версію наближення.
Поправка Облоя
У редакції Облоя провідний (нульового порядку) член записують через величину , що замінює гегенівський :
Тоді скоригована імпліцитна логнормальна волатильність дорівнює:
де функція має той самий вигляд, що й раніше, але обчислюється від :
Член першого порядку (у квадратних дужках) збігається з гегенівським; виправлення стосується лише провідного члена й усуває невелику похибку при , через яку початкова формула могла порушувати безарбітражність.
Окремий випадок «при грошах»
Для опціону «при грошах» () імпліцитна логнормальна волатильність суттєво спрощується:
Це співвідношення часто використовують під час калібрування для прив'язки рівня волатильності «при грошах». Відповідна нормальна (Башельє) волатильність «при грошах» має інший вигляд і в провідному порядку дорівнює .
Нормальна волатильність
Альтернативно ціну за SABR можна виразити через модель Башельє (нормальну модель). Відповідна імпліцитна нормальна волатильність обчислюється аналогічним асимптотичним виразом. Зазвичай нормальне SABR-наближення дещо точніше за логнормальне. Точність наближення та міру арбітражності можна додатково покращити, використовуючи для оцінки опціонів еквівалентну волатильність моделі CEV з тим самим .
Розширення моделі
Зсунута SABR
Поширене розширення для середовища від'ємних процентних ставок — зсунута модель SABR (), у якій SABR-процесу підпорядковується зсунутий форвард:
Оскільки величину зсуву включають у ринкові котирування й існує інтуїтивна нижня межа для від'ємних ставок, зсунута SABR стала ринковим стандартом для роботи з від'ємними ставками.
SABR з вільною межею
Інший підхід до від'ємних ставок — модель із вільною межею, де форвард може набувати від'ємних значень:
Для цієї моделі відомий точний розв'язок при нульовій кореляції та ефективне наближення для загального випадку. Очевидний недолік підходу — апріорне припущення про можливість сильно від'ємних ставок.
Часозалежна SABR
Модель можна узагальнити, припустивши залежність параметрів від часу, проте це ускладнює процедуру калібрування. Один із розвинених методів калібрування часозалежної SABR ґрунтується на так званих «ефективних параметрах».
Калібрування та чисельне моделювання
Параметри , , , визначають калібруванням до ринкових котирувань імпліцитної волатильності. Часто фіксують з економічних міркувань (наприклад, для процентних ставок або для логнормальної динаміки), а решту параметрів підбирають за асимптотичною формулою.
Оскільки процес волатильності є геометричним броунівським рухом, його точне симулювання нескладне. Натомість симуляція процесу форварда нетривіальна: зазвичай застосовують схеми на основі розкладу Тейлора, як-от метод Ейлера — Маруями чи метод Мільштейна. Запропоновано також методи майже точного Монте-Карло-моделювання SABR.
Обмеження
Попри простоту реалізації, щільність розподілу, що випливає з асимптотичного наближення Геґана, не завжди є безарбітражною — зокрема, для дуже малих страйків вона може ставати від'ємною або не інтегруватися до одиниці. Для усунення цієї вади застосовують метод стохастичної колокації (проєкцію на безарбітражну змінну) або стійкі скінченнорізницеві розв'язувачі еквівалентного прямого рівняння в частинних похідних, що чисельно зберігають нульовий і перший моменти й тим самим гарантують відсутність арбітражу.
Застосування
Модель SABR є галузевим стандартом для побудови та інтерполяції поверхні імпліцитної волатильності, насамперед на ринках процентних деривативів (кепи, флори, свопціони). Її використовують для котирування волатильностей, узгодженого ціноутворення опціонів за різних страйків та для управління ризиками (зокрема для обчислення стійких до зсуву усмішки геджів дельта й вега).
Див. також
Модель Блека — Шоулза Волатильність Стохастичне диференціальне рівняння
Примітки
Посилання