Дзета-функція Сельберга — спеціальна функція, введена Атле Сельбергом, аналог дзета-функції Рімана, якщо записати її в такій формі:
де — множина простих чисел. Дзета-функція Сельберга замість простих чисел використовує довжини простих замкнутих геодезичних. Якщо — підгрупа SL(2, R), то відповідна дзета-функція Сельберга визначається так:
або
де p пробігає класи спряженості простих геодезичних (або, що те саме, класи спряженості примітивних гіперболічних елементів ), а позначає (тобто, квадрат найбільшого власного значення p).
Для будь-якої гіперболічної поверхні скінченної площі існує відповідна дзета-функція Сельберга; ця функція мероморфна, визначена в комплексній площині. Функція визначається через замкнуті геодезичні лінії поверхні.
Нулі та полюси дзета-функції Сельберга, , Можна описати в термінах спектральних даних поверхні.
Нулі лежать у таких точках:
Для кожної форми повернення зі власним значенням існує нуль у точці . Порядок нуля дорівнює розмірності відповідного простору. (Форма повернення — власна функція оператора Лапласа — Бельтрамі, розклад Фур'є якої має нульовий постійний член). Дзета-функція також має нуль у кожному полюсі визначника матриці розсіяння . Порядок нуля дорівнює порядку відповідного полюса матриці розсіяння.
Дзета-функція також має полюси в , і може мати нулі або полюси в точках .
вважають p-адичним (і теоретико-графовим) аналогом дзета-функції Сельберга.
Дзета-функція Сельберга для модулярної групи Якщо поверхня є , де — модулярна група, дзета-функція Сельберга становить особливий інтерес. У цьому випадку вона тісно пов'язана з дзета-функцією Рімана.
Так, визначник матриці розсіяння знаходять за виразом:
Зокрема, видно, що якщо дзета-функція Рімана має нуль у точці , то визначник матриці розсіяння має полюс при , і, отже, дзета-функція Сельберга має нуль при .
Посилання
Iwaniec, H. Spectral methods of automorphic forms, American Mathematical Society, second edition, 2002.
Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982. Sunada, T., L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, «Curvature and Topology of Riemannian Manifolds», Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266—284.