У стохастичних процесах, теорії хаосу та аналізі часових рядів, аналіз флуктуацій без тренду (, DFA) – це метод визначення статистичної самоподібності сигналу. Він корисний для аналізу часових рядів, які виглядають як процеси з довгою пам'яттю (розбіжний час кореляції, наприклад, степенева спадаюча автокореляційна функція) або 1/f-шум .

Отриманий показник степеня подібний до показника Херста, за винятком того, що DFA також може бути застосований до сигналів, базова статистика (така як середнє значення та дисперсія) або динаміка яких є нестаціонарними (змінюються з часом). Це пов'язано з мірами, заснованими на спектральних методах, таких як автокореляція та перетворення Фур'є.

Пенг та ін. представили DFA у 1994 році в статті, яка станом на 2022 рік була цитована понад 3000 разів та являє собою розширення (звичайного) флуктуаційного аналізу (ФА), на який впливають нестаціонарності.

Систематичні дослідження переваг та обмежень методу цифрового аналізу факторів (ЦАФ) були проведені П.Ч. Івановим та ін. у серії статей, присвячених впливу різних типів нестаціонарності на реальні сигнали:

типи трендів; випадкові викиди/піки, зашумлені сегменти, сигнали, що складаються з частин з різною кореляцією; нелінійні фільтри; відсутні дані; процедури грубої гранулярності сигналів та порівняння ефективності ЦАФ з методами ковзного середнього.

(сукупна кількість цитувань > 4000). Набори даних, створені для тестування ЦАФ, доступні на PhysioNet.

Визначення

Алгоритм Дано: часовий ряд .

Обчислити його середнє значення .

Підсумувати це в процесі .

Це кумулятивна сума, або профіль, вихідного часового ряду. Наприклад, профіль неідентифікованого білого шуму – це стандартне випадкове блукання.

Виберіть набір цілих чисел, таких що , найменший , найбільший , а послідовність приблизно рівномірно розподілена в логарифмічному масштабі: Іншими словами, це приблизно геометрична прогресія.

Для кожного , розділіть послідовність на послідовні відрізки довжини У межах кожного сегмента обчисліть апроксимацію прямими лініями методом найменших квадратів (локальний тренд). Нехай бути результуючою кусково-лінійною апроксимацією.

Обчисліть середньоквадратичне відхилення від локального тренду (локальної флуктуації): А їх середньоквадратичне значення — це загальна флуктуація:

(Якщо не ділиться на , тоді можна або відкинути залишок послідовності, або повторити процедуру для оберненої послідовності, а потім знайти їх середньоквадратичне значення).

Побудуйте логарифмічну діаграму .

Інтерпретація Пряма лінія схилу на логарифмічному графіку вказує на статистичну самоафінність форми . Через те, що монотонно зростає з , у нас завжди є .

Показник масштабування є узагальненням показника Херста, точне значення якого дає інформацію про самокореляції ряду:

: антикорельований процес : некорельований процес, білий шум : корельований процес : шум типу 1/f (рожевий шум) : нестаціонарний, необмежений процес : броунівський шум

Оскільки очікуване зміщення в некорельованому випадковому блуканні довжини N зростає як , показник степеня відповідало б некорельованому білому шуму. Коли показник степеня знаходиться між 0 та 1, результатом є дробовий броунівський рух.

Підводні камені в інтерпретації Хоча алгоритм DFA завжди видає додатне число Для будь-якого часового ряду це не обов'язково означає, що часовий ряд є самоподібним. Самоподібність вимагає, щоб логарифмічний графік був достатньо лінійним у широкому діапазоні Крім того, було показано, що комбінація методів, включаючи оцінку максимальної правдоподібності (MLE), а не метод найменших квадратів, краще апроксимує показник масштабування або степеневого закону.

Також існує багато величин, подібних до показника масштабування, які можна виміряти для самоподібного часового ряду, включаючи розмірність дільника та показник Херста. Отже, показник масштабування DFA не є фрактальною розмірністю і не має певних бажаних властивостей, які має розмірність Хаусдорфа, хоча в деяких особливих випадках вона пов'язана з розмірністю підрахунку клітинок для графіка часового ряду.

Узагальнення

Узагальнення на поліноміальні тренди (DFA вищого порядку) Стандартний алгоритм DFA, описаний вище, усуває лінійний тренд у кожному сегменті. Якщо в кожному сегменті усувається поліноміальний тренд степеня n, цей метод називається DFAn або DFA вищого порядку.

З є кумулятивною сумою , лінійна тенденція в є постійною тенденцією в , що є постійною тенденцією в (видно як короткі ділянки «плоских плато»). У зв'язку з цим DFA1 видаляє середнє значення з сегментів часового ряду перед кількісною оцінкою коливань.

Аналогічно, тенденція ступеня n у є тенденцією ступеня (n-1) у Наприклад, DFA1 видаляє лінійні тренди з сегментів часового ряду. перед кількісною оцінкою коливань, DFA1 видаляє параболічні тренди з , і так далі.

R/S-аналіз Херста видаляє постійні тренди з вихідної послідовності і, таким чином, за своїм детрендовим характером він еквівалентний DFA1.

Узагальнення на різні моменти (мультифрактальний ДФА) DFA можна узагальнити за допомогою обчислень а потім побудувати логарифмічний графік .

Якщо на графіку є сильна лінійність , тоді цей нахил дорівнює . DFA – це окремий випадок, коли .

Мультифрактальні системи характеризуються масштабуванням, що описується співвідношенням. Іншими словами, показники масштабування не обов'язково є незалежними від порядку моменту q. Зокрема, метод DFA вимірює масштабну поведінку флуктуацій другого моменту.

Кантельхардт та ін. мали на увазі цей показник масштабування як узагальнення класичного показника Херста. Класичний показник Херста відповідає для стаціонарних випадків, та для нестаціонарних випадків.

Застосування Метод DFA застосовувався до багатьох систем, наприклад, послідовності ДНК; динаміка серцебиття уві сні та при активності; стадії сну, відпочинок та фізичні вправи, та в різних циркадних фазах; динаміка локомоторних воріт та зап'ястя; нейронні коливання</ref>, виявлення мовленнєвої патології, та аналіз моделей поведінки тварин.

Зв'язок з іншими методами для конкретних типів сигналів

Для сигналів зі степеневою автокореляцією, що спадає У випадку степеневих автокореляцій, що спадають, кореляційна функція спадає з експонентою : Крім того, спектр потужності зменшується як Три показники степеня пов'язані між собою співвідношенням:

та .

Ці співвідношення можна вивести за допомогою теореми Вінера-Хінчина. Зв'язок цифрового асиметричного аналізу (DFA) з методом спектра потужності добре вивчений.

Таким чином, пов'язаний з нахилом спектра потужності і використовується для опису кольору шуму за допомогою цього співвідношення: .

Для дробового гаусового шуму Для дробового гаусового шуму (ДГШ) маємо , і таким чином , та , де — показник Херста . для FGN дорівнює .

Для дробового броунівського руху Для дробового броунівського руху (ДБР) маємо , і таким чином , та , де — показник Херста . для FBM дорівнює .

У цьому контексті ДБР є кумулятивною сумою або інтегралом ДГШ, таким чином, показники степеня їхніх спектрів потужності відрізняються на 2.

Див. також

Посилання

Зовнішні посилання

Підручник з розрахунку аналізу флуктуацій без тренду. у Matlab за допомогою набору інструментів нейрофізіологічних біомаркерів . Код FastDFA у MATLAB для швидкого обчислення показника масштабування DFA на дуже великих наборах даних. Physionet Гарний огляд DFA та коду C для його обчислення. Реалізація (мультифрактального) детрендованого флуктуаційного аналізу на Python у MFDFA .