Теорема Джинса стверджує, що будь-який стаціонарний розв'язок беззіткненного рівняння Больцмана залежить від координат фазового простору лише через інтеграли руху в заданому потенціалі, і навпаки, будь-яка функція інтегралів є стаціонарним розв'язком. Вона названа на честь Джеймса Джинса й широко застосовується в астрофізиці та статистичній механіці.
Залежність від кількості інтегралів руху Теорему Джинса найчастіше розглядають у контексті потенціалів, що характеризуються трьома глобальними інтегралами руху. У таких потенціалах усі орбіти є регулярними, тобто не хаотичними; одним із прикладів є кеплерівський потенціал. У загальному випадку деякі орбіти мають лише один або два інтеграли руху, і тоді рух є хаотичним. Теорему Джинса можна узагальнити й на такі потенціали: густина у фазовому просторі стаціонарної зоряної системи є сталою в межах кожної зв'язної області. Зв'язною областю називають область, яку неможливо розбити на дві скінченні області так, щоб усі траєкторії протягом усього часу залишалися лише в одній із них. Такими областями є інваріантні тори регулярних орбіт, а також складніші ділянки фазового простору, пов'язані з хаотичними траєкторіями. Отже, для існування стаціонарного стану інтегровність руху не є обов'язковою.
Математичний опис Розгляньмо беззіткненне рівняння Больцмана для функції розподілу ,
Скористаймося лагранжевим описом руху частинки. У цьому разі маємо рівняння
,
Нехай розв'язки цих рівнянь мають вигляд
, ,
де — сталі інтегрування. Припустімо, що з наведених співвідношень можна знайти , тобто отримати
Тепер розгляньмо довільну функцію від ,
Тоді ця функція є розв'язком беззіткненного рівняння Больцмана. Це легко перевірити, підставивши її в беззіткненне рівняння Больцмана й отримавшиWatson, K. M. (1956). Use of the Boltzmann equation for the study of ionized gases of low density. I. Physical Review, 102(1), 12.Chandrasekhar, S., (1960). Plasma physics. University of Chicago press.
Цим доведено теорему.
Тривіальним набором сталих інтегрування є початкове положення і початкова швидкість частинки . У такому разі будь-яка функція
є розв'язком беззіткненного рівняння Больцмана.
Див. також
Рівняння Джинса
Примітки