Потенціал Штекеля — популярне в галактичній астрономії сімейство гравітаційних потенціалів, які використовують для моделювання потенціалів галактик. У загальному випадку вони призначені для моделювання тривісних розподілів густини, хоча можуть відтворювати й осесиметричні розподіли густини. Потенціал визначають в еліпсоїдальній системі координат через довільну функцію одного аргумента, у яку підставляються усі три координати, а вирази додають з певними множниками. Коли гравітаційний потенціал заданий, відповідну йому густину можна знайти з рівняння Пуассона. Певною незручністю під час роботи з цим потенціалом є громіздкість перетворення між еліпсоїдальними й декартовими координатами.
Визначення Розгляньмо рівняння поверхні другого порядку
де . Для кожної трійки декартових координат можна знайти три різні значення , які задовільняють рівнянню. Ці три кореня позначають і впорядковують так, що . Ця трійка і є еліпсоїдальними координатами даної точки.
Поверхні сталої є конфокальними еліпсоїдами з довгою віссю вздовж і короткою вздовж . Поверхні сталої є однопорожнинними гіперболоїдами, а поверхні сталої — двопорожнинними гіперболоїдами.
Гравітаційний потенціал моделі Стеккеля задається формулою
де — довільна функція.
Властивості Потенціал Штекеля є сумою трьох членів, кожен з яких залежить лише від однієї з еліпсоїдальних координат. Це дає змогу розділити рівняння Гамільтона — Якобі й повністю описавати зоряні орбіти.
Іншою важливою особливістю потенціала Штекеля є так звана властивість Кузміна, згідно з якою потенціал уздовж довгої осі еліпсоїдальних координат пов'язаний із профілем густини вздовж тієї самої осі лінійним звичайним диференціальним рівнянням другого порядку. За відомого профілю густини вздовж осі рівняння Кузміна можна проінтегрувати, визначивши з нього потенціал, а відтак і густину у всьому просторі. Це дозволяє вивести так звану формулу Кузміна, яка виражає густину в будь-якій точці простору через густину на осі . Зазвичай ця вісь виявляється короткою віссю отриманого розподілу густини. З формули Кузміна можна вивести теорему Кузміна, яка стверджує, що густина у будь-яквій точці невід'ємна, якщо вона невід'ємна уздовж осі .
З формули Кузміна також випливає, що профілі густини, які вздовж осі спадають швидше за , відповідають зоряним системам скінченної маси. Профілі густини, що спадають як або швидше, відповідають моделям з ненульовим сплющенням на великих радіусах, натомість як профілі, що спадають повільніше за , на великих відстанях стають сферично-симетричними.
Потенціали Штекеля і формули Кузміна можна також узагальнити на випадок модифікованої ньютонівської динаміки, попри те, що в цьому випадку лапласіан у рівнянні Пуассона заміняється на нелінійний оператор.
Примітки
Література