Швидки́й фільтр Ка́лмана (ШФК, ), розроблений Антті Ланге (нар. 1941 р.), — це розширення методу (ЗГВ, ) з геодезії на застосування калманового фільтрування в реальному часі з критичними вимогами до безпеки, як-от ГНСС-навігацію з точністю до сантиметрового рівня та супутникове знімання Землі, включно з атмосферною томографією.

Обґрунтування Фільтри Калмана є важливою методикою фільтрування для забезпечення відмовостійкості широкого кола систем, зокрема систем формування зображень у реальному часі. Звичайний фільтр Калмана є оптимальним алгоритмом фільтрування для лінійних систем. Проте оптимальний фільтр Калмана не є стійким (тобто надійним), якщо умови та Калмана не виконуються неперервно. Забезпечити виконання цих умов для будь-якої великої системи дуже складно. Це означає, що навіть оптимальні фільтри Калмана можуть почати розбігатися в бік хибних розв'язків. На щастя, стійкість оптимального фільтра Калмана можливо контролювати, відстежуючи дисперсії його похибок, за умови, що їх можливо надійно оцінювати (наприклад, за допомогою ). Проте їх точне обчислення потребує значно більших обчислювальних ресурсів, ніж саме оптимальне калманове фільтрування. Метод обчислень ШФК часто забезпечує необхідне прискорення і в цьому відношенні.

Оптимальне калібрування Параметри калібрування є типовим прикладом тих параметрів стану, які можуть створювати серйозні проблеми зі спостережністю, якщо фільтр Калмана неперервно використовує вузьке вікно даних (тобто замало вимірювань). Спостережні прилади на борту орбітальних супутників є прикладом оптимального калманового фільтрування, за якого їх калібрування здійснюють опосередковано на Землі. Можуть також існувати інші параметри стану, слабко спостережні або взагалі неспостережні, якщо будь-який різновид фільтра Калмана за один раз обробляє надто малі вибірки даних.

Обернена задача Обчислювальне навантаження оберненої задачі звичайної калманової рекурсії приблизно пропорційне кубу кількості вимірювань, які обробляють одночасно. Цю кількість завжди можливо звести до 1, обробляючи кожне скалярне вимірювання незалежно та (за потреби) застосовуючи простий алгоритм попереднього фільтрування для декорелювання цих вимірювань. Проте для будь-якої великої й складної системи таке попереднє фільтрування може потребувати обчислень методом ЗГВ. Тривале використання надто вузького вікна вхідних даних послаблює спостережність параметрів калібрування і може зрештою призвести до серйозних проблем із керованістю, цілковито неприйнятних у застосуваннях з критичними вимогами до безпеки.

Навіть коли одночасно обробляють багато вимірювань, лінеаризована система рівнянь нерідко стає розрідженою, оскільки деякі вимірювання виявляються незалежними від деяких параметрів стану або калібрування. У задачах супутникової геодезії обчислювальне навантаження методу ЗГВ (і ШФК) приблизно пропорційне лише квадрату загальної кількості параметрів стану та калібрування, а не кількості вимірювань, яких мільярди.

Надійний розв'язок Надійне робоче калманове фільтрування потребує неперервного злиття даних у реальному часі. Його оптимальність істотно залежить від використання точних дисперсій і коваріацій між усіма вимірюваннями та оцінюваними параметрами стану й калібрування. Цю велику коваріаційну матрицю похибок отримують оберненням матриці відповідної системи . Її зазвичай розріджена, і точний розв'язок для всіх оцінюваних параметрів можливо обчислити методом ЗГВ (і ШФК). Оптимальний розв'язок також можливо отримувати методом Ґаусса із застосуванням інших методик роботи з розрідженими матрицями або деяких ітеративних методів на основі, наприклад, варіаційного числення. Проте ці останні методи можуть обчислювати велику матрицю всіх дисперсій і коваріацій похибок лише наближено, тому злиття даних виконуватиметься не цілком оптимальним чином. Унаслідок цього довготривала стійкість калманового фільтрування стає непевною, навіть якщо умови спостережності та керованості Калмана виконуються постійно.

Опис Швидкий фільтр Калмана застосовний лише до систем із розрідженими матрицями, оскільки ЗГВ є методом обернення для розв'язування розріджених лінійних рівнянь.

Розріджена матриця коефіцієнтів, яку потрібно обернути, часто може мати облямовану блочно- або смугово-діагональну () структуру. Якщо вона смугово-діагональна, її можливо перетворити на блочно-діагональну, наприклад, за допомогою узагальненого канонічного кореляційного аналізу (, ).

Таку велику матрицю, отже, найефективніше можливо обернути поблоково за допомогою такої аналітичної формули обернення:

Фробеніуса, де велика блочно- або смугово-діагональна матриця, яку легко обернути, а значно менша матриця, яку називають доповненням Шура матриці .

Це і є метод ШФК, який може уможливити обчислювальне оцінювання значно більшої кількості параметрів стану та калібрування, ніж звичайна калманова рекурсія. Їхню робочу точність також можливо надійно оцінювати за теорією квадратичного незміщеного оцінювання мінімальної норми () та використовувати для контролю стійкості цього оптимального швидкого калманового фільтрування.

Застосування Метод ШФК поширює дуже високу точність супутникової геодезії на геодезичне знімання методом кінематики в реальному часі з , мобільне позиціювання та наднадійну навігацію. Першими важливими застосуваннями стануть оптимальне калібрування в реальному часі глобальних систем спостережень у метеорології, геофізиці, астрономії тощо.

Наприклад, система тепер може прогнозувати спостереження з довірчими інтервалами, завдяки чому можливо поліпшити їхній оперативний контроль якості. Раптове зростання невизначеності прогнозування спостережень указувало би на відсутність важливих спостережень (проблема спостережності) або на непередбачувану зміну погоди (проблема керованості). Дистанційне зондування та формування зображень із супутників частково ґрунтуються на прогнозній інформації. Контроль стійкості зворотного зв'язку між цими прогнозами та супутниковими зображеннями потребує методики злиття даних давачів, яка була би водночас швидкою та робастною; цим вимогам відповідає ШФК.

Обчислювальна перевага ШФК є незначною для застосувань, що використовують у реальному часі лише невеликі обсяги даних. Тому спершу потрібно розробити вдосконалені вбудовані засоби калібрування та інфраструктури передавання даних і впровадити їх у загальне користування, перш ніж персональні пристрої та пристрої міжмашинної взаємодії зможуть повною мірою скористатися перевагами ШФК.

Примітки

Посилання BBD  — програмне забезпечення FKF  — формули HWB  — формули The error covariance matrix of FKF  — формули Існують також інші швидкі алгоритми Калмана, призначені для спеціальних задач обробки сигналів, див., наприклад, Stabilizing the Fast Kalman Algorithms на IEEE Xplore Kalman filter recipes for real-time image processing