У теоретичній фізиці геометродинаміка — це спроба описати простір-час і пов’язані з ним явища повністю в термінах геометрії. Технічно її метою є уніфікація фундаментальних взаємодій і переформулювання загальної теорії відносності як простору конфігурацій триметрій з точністю до тривимірних дифеоморфізмів. Витоки цієї ідеї можна знайти у працях англійського математика Вільяма Кінгдона Кліффорда.Wheeler, J (1962). Nagel, Ernest; Suppes, Patrick; Tarski, Alfred (eds.). "Curved empty space as the building material of the physical world: an assessment". Logic, Methodology and Philosophy of Science: Proceedings of the International Congress for Logic, Methodology and Philosophy of Science. Stanford, California: Stanford University Press У 1960-х роках цю теорію активно пропагував Джон Вілер, а роботи в цьому напрямі тривають і у XXI столітті.
Геометродинаміка Ейнштейна
Термін геометродинаміка використовується як синонім загальної теорії відносності. Точніше, деякі автори використовують словосполучення геометродинаміка Ейнштейна для позначення формулювання задачі початкових значень загальної теорії відносності, запропонованого Арновіттом, Дезером і Мізнером (формалізм ADM) близько 1960 року.
У цьому переформулюванні простір-час розшаровується на просторові гіперповерхні у довільний спосіб, а вакуумні рівняння поля Ейнштейна переформульовуються як рівняння еволюції, що описує, як із заданої геометрії початкової гіперповерхні (тобто «початкового значення») геометрія еволюціонує в часі.
Для цього необхідно задати рівняння обмежень, яких повинна дотримуватися початкова гіперповерхня. Це також передбачає певний «вибір калібру» (gauge), зокрема вибір того, як із часом змінюється система координат, що використовується для опису геометрії гіперповерхні.
Геометродинаміка Вілера
Вілер прагнув звести фізику до геометрії ще фундаментальнішим чином, ніж це було зроблено у формулюванні ADM загальної теорії відносності, де геометрія є динамічною і її кривина змінюється з часом.
Він намагався реалізувати три концепції:
маса без маси (mass without mass); заряд без заряду (charge without charge); поле без поля (field without field).
Вілер прагнув закласти основу для квантової гравітації та об'єднати гравітацію з електромагнетизмом (сильна і слабка взаємодії у 1960 році ще не були достатньо добре зрозумілими, щоб їх можна було включити до цієї теорії).
Вілер увів поняття геонів — пакетів гравітаційних хвиль, локалізованих у компактній області простору-часу та утримуваних разом гравітаційним притяганням енергії самого гравітаційного поля хвилі. Вілера особливо цікавила можливість того, що геони можуть впливати на пробні частинки подібно до масивного об'єкта, тобто реалізовувати ідею «маси без маси».
Вілера також дуже цікавило те, що розв'язок загальної теорії відносності для точкової маси, яка не обертається, — вакуум Шварцшильда — має властивості кротовини.
Аналогічно, у випадку зарядженої частинки геометрія розв'язку електровакууму Райсснера—Нордстрема дозволяє припустити, що симетрію між електричними силовими лініями (які «закінчуються» на зарядах) та магнітними силовими лініями (які ніколи не закінчуються) можна було б відновити, якби електричні силові лінії насправді не закінчувалися, а проходили крізь кротовину до віддаленої області або навіть до іншої гілки Всесвіту.
Джордж Райніч за кілька десятиліть до цього показав, що тензор електромагнітного поля можна отримати з електромагнітної складової тензора енергії-імпульсу, який у загальній теорії відносності безпосередньо пов'язаний із кривиною простору-часу. Вілер і Мізнер розвинули цю ідею в так звану «вже об'єднану теорію поля», яка частково об'єднувала гравітацію та електромагнетизм і приводила до концепції «заряду без заряду».
У переформулюванні ADM загальної теорії відносності Вілер стверджував, що повне рівняння поля Ейнштейна можна відновити, якщо вдасться вивести імпульсне обмеження, і припускав, що це може випливати лише з геометричних міркувань. У такому разі загальна теорія відносності виявлялася б чимось на кшталт логічної необхідності.
Зокрема, кривина (гравітаційне поле) могла б виникати як своєрідне «усереднення» над надзвичайно складними топологічними явищами на дуже малих масштабах — так званою «піною простору-часу» (spacetime foam). Це відповідало б геометричній інтуїції, що виникла у квантовій гравітації, або концепції «поля без поля».
Ці ідеї справили сильне враження на багатьох фізиків, хоча сам Вілер досить швидко відкинув деякі первісні сподівання щодо своєї програми. Зокрема, виявилося складно описати ферміони зі спіном 1/2. Для цього необхідно звернутися до єдиної теорії поля Ейнштейна для системи Ейнштейна—Максвелла—Дірака або, у більш загальному випадку, до системи Ейнштейна—Янга—Міллса—Дірака—Гіггса.
Геометродинаміка також привернула увагу філософів, яких зацікавила можливість реалізації деяких ідей Декарта та Спінози щодо природи простору.
Подальший розвиток геометродинаміки
У новіший час Крістофер Ішем, Джеремі Баттерфілд та їхні учні продовжують розвивати квантову геометродинаміку, враховуючи сучасні дослідження у напрямі квантової теорії гравітації та подальший розвиток надзвичайно розгалуженої математичної теорії формулювань задачі початкових значень у загальній теорії відносності. Деякі з початкових цілей Вілера залишаються важливими для цієї роботи, зокрема прагнення закласти міцний фундамент для квантової гравітації. Філософська програма також продовжує мотивувати низку провідних дослідників.
Топологічні ідеї у сфері гравітації сягають праць Рімана, Кліффорда та Вейля й знайшли більш конкретне втілення у кротовинах Вілера, що характеризуються інваріантом Ейлера—Пуанкаре (характеристикою Ейлера). Вони виникають унаслідок приєднання ручок до чорних дір.
З погляду спостережень загальна теорія відносності (ЗТВ) Альберта Ейнштейна досить добре підтверджена для Сонячної системи та подвійних пульсарів. Однак у ЗТВ метрика відіграє подвійну роль: вона визначає вимірювання відстаней у просторі-часі та водночас виконує роль гравітаційного потенціалу для зв'язності Крістоффеля. Ця подвійність, вочевидь, є однією з головних перешкод на шляху квантування гравітації.
Артур Стенлі Еддінгтон ще 1924 року у своїй книзі The Mathematical Theory of Relativity (Математична теорія відносності, 2-ге видання) запропонував розглядати зв'язність як фундаментальне поле, а метрику — лише як похідне поняття.
Отже, первісна дія у чотиривимірному просторі мала б бути побудована на основі метрично незалежної топологічної дії, наприклад інваріанта Понтрягіна відповідної калібрувальної зв'язності.
Подібно до теорії Янга—Міллса, квантування можна здійснити шляхом модифікації визначення кривини та тотожностей Б'янкі за допомогою топологічних духів. У такому градуйованому формалізмі Карта́на нільпотентність операторів духів відповідає лемі Пуанкаре для зовнішнього диференціала.
Використовуючи BRST-формалізм анти-полів із калібруванням двоїстості, можна отримати узгоджене квантування у просторах подвійно двоїстої кривини. Обмеження накладає на кривину розв'язки типу інстантонів у теорії гравітації з квадратичною кривиною — так званій теорії Янга—Мілке, запропонованій у її афінній формі ще Вейлем у 1919 році, а Янгом — у 1974 році.
Однак ці точні розв'язки демонструють явище, яке називають «виродженням вакууму». Для його усунення необхідно модифікувати подвійну двоїстість кривини за допомогою членів, що порушують масштабну інваріантність, щоб рівняння Ейнштейна з індукованою космологічною сталою, частково топологічного походження, залишалося єдиним макроскопічним «фоном».
Такі члени, що порушують масштабну інваріантність, природніше виникають у формалізмі обмежень, відомому як BF-схема, де калібрувальна кривина позначається через \(F\).
У випадку гравітації ця схема виходить за межі спеціальної лінійної групи SL(5, R) у чотиривимірному просторі, узагальнюючи тим самим (анти-)де-сіттерівські калібрувальні теорії гравітації.
Після застосування спонтанного порушення симетрії до відповідної топологічної BF-теорії знову виникають простори Ейнштейна з дуже малою космологічною сталою, пов'язаною з масштабом порушення симетрії. Тут «фонова» метрика індукується за допомогою механізму, подібного до механізму Гіггса.
Кінцева властивість такої деформованої топологічної схеми — її скінченність — після квантування спонтанно порушеної моделі може перетворитися на асимптотичну безпечність.
Концепції геометродинаміки також стимулювали дослідження можливості використання метрики Керра—Ньюмена для створення релятивістської, але неквантової моделі електрона. Цитовані роботи
Основні публікації This Ph.D. thesis offers a readable account of the long development of the notion of "geometrodynamics". This book focuses on the philosophical motivations and implications of the modern geometrodynamics program.
See chapter 43 for superspace and chapter 44 for spacetime foam.
online version (subscription required)
Додаткова література Grünbaum, Adolf (1973): Geometrodynamics and Ontology, The Journal of Philosophy, vol. 70, no. 21, December 6, 1973, pp. 775–800, online version (subscription required) Mielke, Eckehard W. (1987): Geometrodynamics of Gauge Fields --- On the geometry of Yang—Mills and gravitational gauge theories, (Akademie—Verlag, Berlin), 242 pages. (2nd Edition, Springer International Publishing Switzerland, Mathematical Physics Studies 2017), 373 pages. Примітки